Свойства определителя второго порядка

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Доказательство:

Действительно, пусть ,      

Отсюда, .

Свойство 2. При перестановке двух столбцов или двух строк определитель меняет только знак.

Доказательство:

Пусть ,    

Тогда .

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых столбца (строки), равен .

Доказательство:

Если , то .

Свойство 4. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя умножить на одно и то же число , то определитель умножится на это число.

Доказательство:

Пусть ,  

Тогда .

Иногда свойство 4 формулируется следующим образом: Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя содержат общий множитель , то его можно вынести за знак определителя.

.

Свойство 5. Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк) соответственно пропорциональны, равен нулю.

Доказательство:

Пусть , причём

Тогда .

Свойство 6. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующего столбца (строки) являются первые слагаемые, у другого – вторые. Остальные элементы у этих двух определителей те же, что и у данного.

Доказательство:

Пусть , ,

Тогда .

Свойство 7. и свойство 6 выражают соответственно правило умножения определителя на число и правило сложения определителей.

Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.

Доказательство:

Пусть ,

На основании свойств 6 и 5 имеем

, т.е. .