Экстремумы функций нескольких переменных

Определение: Точка называется точкой максимума функции , если всюду в некоторой окрестности этой точки .

Определение: Точка называется точкой минимума функции , если всюду в некоторой окрестности этой точки .

Точки максимума и минимума функции называются её точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами, или, короче, экстремумами, этой функции.

Необходимые условия экстремума функции двух переменных:

Если функция в точке имеет экстремум, то в этой точке либо обе её частные производные первого порядка равны нулю: , , либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.

Будем называть критическими точками функции точки, в которых обе частные производные первого порядка одновременно равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует.

Экстремумы функции в данной области являются её критическими точками. Однако не всякая критическая точка функции будет её точкой экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области надо всякую критическую точку функции в этой области подвергнуть дополнительному исследованию.

Наиболее употребительные достаточные условия экстремума для функции двух переменных формируются следующим образом:

Пусть в окрестности критической точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражения

, , .

Тогда:

1) если , то в точке функция имеет экстремум:

максимум, если , и минимум, если ;

2) если , то в точке функция экстремума не имеет.

В случае, когда , экстремум в точке может быть, может и не быть. В дальнейшем будем называть – дискриминантом.

Пример 4. Найти экстремумы функции . Данная функция определена повсюду.

Найдем её производные первого и второго порядков.

Для определения критических точек функции решаем систему уравнений:

т.е.

Она равносильна совокупности двух систем уравнений:

Получаем токи , , , .

Частные производные второго порядка

, , – непрерывны всюду.

Для каждой критической точки вычисляем соответствующее значение дискриминанта:

1) : ; ; ;

В точке экстремума нет.

2) : ; ; ;

В точке экстремума нет.

3) : ; ; ;

В точке экстремума нет.

4) : ; ; ;

В точке функция имеет экстремум.

, – точка максимума. Исследуя функцию на экстремум, мы нашли четыре критические точки, из которых лишь одна является точкой экстремума. Было установлено, что в этой точке функция имеет максимум, причем

Пример 5. Фирма производит товар двух видов в количествах и . Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

Решение:

Пусть – функция прибыли, тогда

Найдём первые частные производные функции :

; ;

Найдём критические точки графика функции . Для этого решим систему:

Следовательно – критическая точка. Проверим её на экстремум, для этого введем обозначения: , , , тогда , , , дискриминант . Т.к. , то экстремум есть, а т.к. , то это максимум.