Ряды с неотрицательными членами

Ряды с отрицательными, точнее, с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем , и вследствие этого такие ряды ведут себя одинаково относительно сходимости.

Рассмотрим признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Первый признак сравнения рядов с неотрицательными членами:

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами  (1) и  (2) , . Если  при любом , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Пример 3. Ряд  расходится, т.к. , а гармони­ческий ряд  расходится. В частности при  имеем ,

Пример 4. Ряд  сходится, т.к. сходится ряд геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов этого ряда сходящейся геометрической прогрессии: .

В частности, при  имеем , .

Второй признак сравнения рядов:

Пусть даны  и , где , . Если существует , где  – число, отличное от нуля, то ряды и  ведут себя одинаково относительно сходимости.

Признак Даламбера (предельный признак Даламбера):

Пусть дан ряд , . Если существует , то при  ряд сходится, при  ряд расходится, при  признак вопроса не решает.

Пример 5. Ряд  сходится, т.к. ,

.

Пример 6. Ряд , , .

Пример 7. Ряд  расходится. . По признаку Даламбера в этом случае требуется дополнительное исследование. Это будет показано далее, по интегральному признаку сравнения.

Признак Коши:

Пусть дан , . Если существует , то при  ряд сходится, при  ряд расходится, при  признак вопроса не решает.

Пример 8. Ряд  сходится, т.к. .

Пример 9. Рассмотрим ряд .Найдём .

Вопрос о сходимости данного ряда признаком Коши не решается. Хотя с учетом второго замечательного предела имеем, что , значит ряд расходится.

Интегральный  признак  сходимости  рядов

с  положительными членами:

Если  – непрерывная положительная убывающая функция на промежутке , то ряд  и интеграл  ведут себя одинаково относительно сходимости.

Пример 10. Рассмотрим ряд   При  

сходится, так как  сходится, при   расходится.

В частности, при  получим сходящийся ряд , т.к.

.

При  получим известный расходящийся гармоничный ряд .

Рассмотрим , .