Вопросы к экзамену (1 семестр)

1.  Матрицы. Основные понятия Линейные операции над матрицами. Доказать одно из свойств. Привести примеры. Определители второго и третьего порядков. Способы их вычислений.

2.  Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Привести примеры. Теорема Крамера для решения систем линейных уравнений (формулировка).

3.  Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Привести примеры. Понятие ранга матрицы. Нахождение ранга матрицы. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

4.  Векторы на плоскости. Основные понятия и определения. Линейные операции над векторами в векторной форме. Проекция вектора. Условия ортогональности и коллинеарности векторов на плоскости (доказать одно из них).

5.  Векторы в пространстве. Основные понятия и определения, действия над векторами, заданными своими координатами в пространстве.

6.  Векторное произведение векторов, формулы для его вычисления. Свойства векторного произведения векторов (доказать одно из них).

7.  Смешанное произведение векторов (определение, формула для вычисления). Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

8.  Прямая на плоскости (основные определения), уравнение прямой, проходящей через две данные точки и каноническое уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно данному вектору и уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Уравнение прямой в отрезках и параметрическое уравнение прямой.

9.  Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

10. Уравнения плоскости в пространстве (общее, в отрезках, через три точки), одно из них вывести. Уравнение прямой в пространстве (параметрическое, каноническое, через две данные точки, прямая как пересечение двух плоскостей). Одно из них вывести. Взаимное расположение плоскостей в пространстве, прямых в пространстве, прямой и плоскости в пространстве.

11. Кривые второго порядка. Уравнение окружности с выводом. Эллипс, его уравнения и характеристики. Гипербола, ее уравнения и характеристики. Парабола, ее уравнения и характеристики.

12. Поверхности второго порядка. Сфера, ее уравнения и характеристики. Эллипсоид, его уравнения и характеристики. Гиперболоид, его уравнения и характеристики. Параболоид, его уравнения и характеристики.

13. Числовые множества. Абсолютная величина числа и ее свойства (одно доказать). Определение числовой последовательности, способы ее задания.

14. Свойства числовых последовательностей (одно доказать). Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.

15. Определение числовой функции, способы ее задания. Свойства функций, привести примеры. Классификация функции. Примеры.

16. Понятие предела функции.Предел функции в точке, на бесконечности. Односторонние пределы.

17. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними. Привести примеры. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного функций, степени функции (одну доказать).

18. Методы раскрытия основных неопределенностей при вычислении пределов функции. Первый и второй замечательные пределы. Привести примеры. Правила сравнения бесконечно малых функций. Перечислить основные эквивалентности для бесконечно малых функций. Привести примеры.

19. Понятие о непрерывности функции. Арифметические действия над непрерывными функциями (доказательством). Определение точек разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функций (формулировки). Привести примеры.

20. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке.

21. Определение функции, дифференцируемой в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Дифференциал функции (определение, формула для вычисления).

22. Правила дифференцирования. Вывести формулу дифференциала суммы двух функций. Вывести формулу дифференциала частного двух функций. Вывести формулу дифференциала произведения двух функций.

23. Правило дифференцирования степенной функции (с выводом). Привести примеры. Дифференцирование показательной логарифмической функций, привести примеры.

24. Дифференцирование тригонометрических функций (одну и формул вывести), привести примеры. Дифференцирование обратных тригонометрических функций (одну из формул вывести). Привести примеры.

25. Правила нахождения производной функции, заданной неявно или параметрически. Привести примеры.

26. Алгоритм исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы по первой производной. Привести пример. Алгоритм исследования функции на экстремум по второй производной. Привести пример.

27. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Примеры.

28. Общая схема исследования функций. Пример.

29. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей, возникающих при вычислении пределов функций.

30. Функция нескольких переменных (определение, основные понятия). Примеры. Алгоритм нахождения экстремумов функции нескольких переменных. Привести пример.

31. Частные производные функции нескольких переменных, правила их нахождения, примеры. Частные производные функции второго порядка, правила их нахождения. Примеры.

32. Градиент функции в точке (определение, правило нахождения). Нахождение производной функции по заданному направлению. Привести пример.

33. Первообразная функции. Основное свойство первообразной (доказать теорему). Неопределенный интеграл. Определение. Свойства (одно доказать).

34. Таблица основных неопределенных интегралов.

35. Непосредственное интегрирование. Таблица основных неопределенных интегралов.

36. Интегрирование методом подстановки. Интегрирование по частям.

37. Определение правильной, неправильной рациональной дроби. Виды простейших рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших.

38. Интегрирование рациональных дробей.

39. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

40. Интегрирование некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции.

41. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

42. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла (одно доказать).

43. Нахождение площади криволинейной трапеции.

44. Нахождение объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

45. Метод подстановки при вычислении определенного интеграла.

46. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям.

47. Приложения определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, длина дуги кривой.

48. Приложения определенного интеграла. Площадь поверхности вращения, объемы тел вращения.

49. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Его геометрический смысл.

50. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Пример.

51. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

52. Двойной интеграл. Основные понятия и условия существования.

53. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Общее и частное решение. Формулировка задачи Коши, теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

54. Определение дифференциального уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными. Метод их интегрирования. Пример.

55. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Решение его методом вариации. Пример.

56. Определение дифференциального уравнения n-го порядка, общее решение. Формулировка задачи Коши теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка.

57. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка. Алгоритм их решения.

58. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

59. Линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

60. Метод Лагранжа.

61. Метод неопределенных коэффициентов.