Запишем вектор-функцию в форме (1): . Тогда скорость точки P будет иметь вид , где точкой обозначаются полные производные по времени t, т.е. , , . Эти производные координат вектора имеют геометрический смысл проекций вектора на оси Ox, Oy и Oz.
Величина скорости определяется равенством
, (5)
а направление вектора относительно осей Ox, Oy и Oz – направляющими косинусами [1]
, , . (6)
Ускорение точки P определяется равенством , где двумя точками обозначены вторые производные по времени t: , , . Эти производные координат вектора имеют геометрический смысл проекций вектора на оси Ox, Oy и Oz. Величина вектора ускорения и его направления определяются равенствами, аналогичными (5), (6). Таким образом, движение точки будет полностью заданным, если известны законы изменения ее координат: .
Задача
Задан закон движения точки P: , , , где - постоянные. Найти траекторию, скорость и ускорение точки.
Решение
Возведя в квадрат первые равенства, и сложив их, получим . Это показывает, что точка P движется по поверхности цилиндра радиуса a, ось которого совпадает с осью Oz (рис. 3). Пусть φ – угол между проекцией OA радиус-вектора OP на плоскость Oxy и осью Ox. Тогда , , , . Следовательно, отрезок OA равномерно вращается, а точка P равномерно перемещается по образующей AP. Таким образом, точка движется по винтовой линии.
|
|
Определим скорость точки P: , , . Модуль скорости , т.е. величина вектора скорости постоянна, а ее направление изменяется со временем.
Ускорение точки P: , , . Модуль ускорения . Направляющие косинусы вектора ускорения , , . Следовательно, ускорение точки P имеет постоянную величину и направлено по внутренней нормали цилиндра (рис. 3).
| |||||