Естественный способ задания движения точки

Можно задать движение точки P, заранее определив ее траекторию σ относительно точки O. Тогда, на известной траектории выбирается начало отсчета дуговой координаты σ(t) точка O₁ и положительное направление отсчета положения точки P (рис. 4). Такой способ задания движения точки называется естественным.

Для вычисления скорости и ускорения точки P при естественном способе задания движения введем правую тройку единичных векторов . Вектор направлен по касательной к траектории в точке P, вектор - по нормали. Вектор перпендикулярен плоскости векторов . Радиус-вектор точки P относительно точки O будет сложной функцией времени: . Тогда скорость точки P будет определяться равенством

. (7)

Вычислим производную . Она равна . Ясно, что при длина хорды будет приближаться к длине соответствующей дуги и . При этом займет положение касательной к σ в точке P. Следовательно, и равенство (7) запишется в виде

. (8)

Равенство (8) показывает, что скорость точки P всегда направлена по касательной к траектории. Ускорение точки P, с учетом (8), имеет вид

. (9)

Вычислим производную = . Ясно, что единичный вектор изменяется только по направлению при движении точки P по траектории σ. Приращение дуги представим в виде , где ρ – радиус кривизны траектории, Δφ – приращение угла поворота радиуса кривизны. Тогда можно записать . При длина будет приближаться к величине угла и . При этом займет положение нормали к σ в точке P. Следовательно, и равенство (9) запишется в виде

. (10)

Соотношение (10) называется теоремой о разложении полного ускорения точки на нормальную и тангенциальную составляющие. Нормальное ускорение точки объясняется наличием кривизны траектории и характеризует изменение вектора скорости точки P по направлению. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости точки P по величине. Если траектория точки – кривая, то в любом случае и вектор полного ускорения будет всегда направлен внутрь траектории.

Задача

Точка P движется по окружности радиуса R, закон движения точки . Определить модуль полного ускорения точки и угол между полным ускорением и его нормальной составляющей.

Решение

Так как , из (8) и (10) следует, что , , . Величины и являются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением радиуса OP = R (рис. 5). Обозначая , , получим выражение для модуля ускорения точки: