Естественный способ задания движения точки

Можно задать движение точки P, заранее определив ее траекторию σ относительно точки O. Тогда, на известной траектории выбирается начало отсчета дуговой координаты σ(t) точка O₁ и положительное направление отсчета положения точки P (рис. 4). Такой способ задания движения точки называется естественным.

Для вычисления скорости и ускорения точки P при естественном способе задания движения введем правую тройку единичных векторов . Вектор  направлен по касательной к траектории в точке P, вектор  - по нормали. Вектор  перпендикулярен плоскости векторов . Радиус-вектор точки P относительно точки O будет сложной функцией времени: . Тогда скорость точки P будет определяться равенством

.                                            (7)

Вычислим производную . Она равна . Ясно, что при  длина хорды  будет приближаться к длине соответствующей дуги  и . При этом  займет положение касательной к σ в точке P. Следовательно,  и равенство (7) запишется в виде

.                                                (8)

Равенство (8) показывает, что скорость точки P всегда направлена по касательной к траектории. Ускорение точки P, с учетом (8), имеет вид

.                                         (9)

Вычислим производную = . Ясно, что единичный вектор изменяется только по направлению при движении точки P по траектории σ. Приращение дуги представим в виде , где ρ – радиус кривизны траектории, Δφ – приращение угла поворота радиуса кривизны. Тогда можно записать . При  длина  будет приближаться к величине угла  и . При этом  займет положение нормали к σ в точке P. Следовательно,  и равенство (9) запишется в виде

.                                 (10)

Соотношение (10) называется теоремой о разложении полного ускорения точки на нормальную  и тангенциальную  составляющие. Нормальное ускорение  точки объясняется наличием кривизны траектории и характеризует изменение вектора скорости точки P по направлению. Тангенциальное ускорение  характеризует изменение вектора скорости точки P по величине. Если траектория точки – кривая, то в любом случае  и вектор полного ускорения  будет всегда направлен внутрь траектории.

Задача

Точка P движется по окружности радиуса R, закон движения точки . Определить модуль полного ускорения точки и угол между полным ускорением и его нормальной составляющей.

Решение

Так как , из (8) и (10) следует, что , , . Величины  и  являются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением радиуса OP = R (рис. 5). Обозначая , , получим выражение для модуля ускорения точки:

.

Угол между полным ускорением и его нормальной составляющей определяется из равенства .

					Рис. 6
		Рис. 5