Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг точки O (рис. 9). Система координат OXYZ – неподвижная, а Oxyz – жестко связана с вращающимся твердым телом и потому является подвижной. Направления осей этих систем координат задаются соответствующими тройками единичных векторов и . Пусть известно положение точки P в системе координат Oxyz:2

Вычислим положение точки P в неподвижной системе координат OXYZ. Для этого спроецируем вектор на оси OX, OY и OZ:

Полученные соотношения связывают положение точки P в неподвижной и подвижной системах координат. Запишем эти соотношения в матричной форме:

или, окончательно,

. (1)

Рис. 10

Рис. 9

Матрица A в формуле (1) называется матрицей поворота. Она является ортогональной, т.е. .3 Ее определитель по абсолютной величине всегда равен единице. Элементами матрицы A являются косинусы углов между осями неподвижной и подвижной систем координат:

В общем случае матрица A задает перемещение твердого тела вокруг произвольной оси, проходящей через точку O. Повороты твердого тела вокруг неподвижных осей OX, OY и OZ называют элементарными, а соответствующие им матрицы

, ,

матрицами элементарных поворотов. 4 Обозначения читаются так: - матрица поворота вокруг оси OX на угол α. Матрица поворота твердого тела вокруг неподвижной точки может быть представлена в виде произведения матриц элементарных поворотов, например:

т.е. твердое тело сначала поворачивается вокруг оси OX на угол α, затем вокруг оси OY на угол φ, и еще вокруг оси OZ на угол θ. Изменение порядка умножения матриц элементарных поворотов в общем случае приведет к изменению матрицы результирующего поворота, т.к. произведение матриц не обладает свойством коммутативности (). Если определить матрицу поворота как функцию времени A = A(t), то будет задано движение твердого тела вокруг неподвижной точки: .

Задача

В неподвижной системе координат OXYZ заданы радиус-векторы концов тонкого стержня AB: , . Определить положение стержня после его поворота вокруг оси OZ на угол θ = 60⁰.

Решение

Введем систему координат Oxyz, жестко связанную со стержнем. Пусть начальное положение этой системы координат совпадает с положением осей неподвижной системы координат OXYZ. Тогда радиус-векторы точек A и B в этих системах координат будут совпадать: , . Положение стержня после указанного поворота определится из соотношений: