Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Теорема 3. Если два вектора определены своими декартовыми прямоугольными координатами а ={x₁, y₁, z₁ }, b ={x₂, y₂, z₂ }, то их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

a·b= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂                                   (5)

Доказательство. Т.к. базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, то: .

=1²сos 0˚=1,

Учитывая, что а =x₁ i +y₁ j +z₁ k, b = x₂ i +y₂ j +z₂ k, получим

a·b =(x₁ i +y₁ j +z₁ k)( x₂ i +y₂ j +z₂ k)= x₁x₂+0+0+y₁y₂+0+0+z₁z₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. ч.т.д.

При a = b получаем a·а =| а| ²= .

Следствие 1. Векторы а ={x₁, y₁, z₁} и b ={x₂, y₂, z₂} являются ортогональными тогда и только тогда, когда x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0.

Пример. Проверить, являются ли ортогональными векторы а =(0;6;-3) и b =(2;4;8). A·b= 0·2+6·4+(-3)·8=0

Следствие 2.

Угол между двумя векторами: cos φ= .         (6)

Пример. Найти угол между векторами а =(1;2;-3) и b =(2;4;0)

cos φ= , φ=arccos 1/28

Векторное произведение векторов.

Правые и левые тройки векторов и системы координат.

Определение 1. Упорядоченнуютройкунекомпланарных векторов abc называется правой, если направление вектора а совмещается с направлением вектора b при помощи кратчайшего поворота вектора а в плоскости этих векторов, который со стороны вектора с совершается против хода часовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.

Всего из векторов а, b и c можно составить 3 правые: abc, bca, cab; и 3 левые

bac, acb, cba – тройки векторов.

Определение 2. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку векторов.

Определение 3. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, удовлетворяющий условиям:

1) | с|=|а||b| sin φ, где φ – угол между векторами а и b;                        (7)

2) вектор с ортогонален векторам а и b;

3) векторы а, b и с образуют правую тройку векторов.

с =[ a,b ]= a × b

Механический смысл. Если вектор  изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор  идет из некоторой точки О в точку М, то вектор с =[ a,b ] представляет собой момент силы  относительно точки О.