Геометрические свойства векторного произведения

Теорема 4. Два вектора являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Следует из определения векторного произведения, т.к. если векторы а и b коллинеарные, то угол между ними равен 0, а sin 0=0.

Достаточность. Пусть a × b =0. покажем, что векторы а и b коллинеарные. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов  или  равен 0. Если оба вектора ненулевые, то >0, >0Þиз равенства a × b =0 и (7) следует, что sin j=0, т.е. векторы  и  коллинеарны.                                                                         Ч.т.д.

Теорема 5. Длина (модуль) векторного произведения a × b равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Следует из (7), т.к. площадь параллелограмма равна S= |а||b| sin(a^b) =| a × b|.                                                                                                   Ч.т.д.

Площадь соответствующего треугольника: S_Δ=1/2 | a × b|.

Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с называется единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с ним направление.

Следствие. Если е – орт векторного произведения a × b, а S – площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения a × b справедлива формула:   a × b= S е                              (8).

Замечание. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что тройка abe является правой (т.к. тройка aba × b является правой).

Теорема 6. Если с – некоторый вектор, p - любая содержащая его плоскость, е – единичный вектор, лежащий в плоскости p и ортогональный к с, g – единичный вектор, ортогональный к плоскости p и направленный так, что тройка есg является правой, то для любого лежащего в плоскости p вектора а справедлива формула

a × с =пр_е а ×| с | g                    (9)

Доказательство. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление.

S=| a × с| - площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (9), равна |пр_е а| ×| с |, т.е. тоже равна S, т.к. если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его h будет равна |пр_е а|.

Коллинеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (9), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны плоскости p (вектор a × с в силу определения векторного произведения, а вектор пр_е а ×| с | g в силу того, что вектор g по условию ортогонален к плоскости p).

Проверим, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9) имеют одинаковое направление. Векторы a × с и g одинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка aсg является правой (левой), т.е. когда векторы а и е лежат по одну сторону (по разные стороны) от с и проекция пр_е а является положительной (отрицательной), но это и означает, что векторы a × с ипр_е а ×| с | g всегда одинаково направлены.        Ч.т.д.