Геометрические свойства скалярного произведения

Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой, то такие векторы называются ортогональными.

Теорема 1. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы  и  ортогональны, j - угол между ними. Тогда cos j=0Þ =0.

Достаточность. Пусть =0. Докажем, что векторы  и  ортогональны. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов  или  равен 0. Если оба вектора ненулевые, то >0, >0Þиз равенства =0 и (1) следует, что cos j=0, т.е. векторы  и  ортогональны.                                                                                 Ч.т.д.

Теорема 2. Два ненулевых вектора  и  составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

Доказательство. Т.к. векторы  и  ненулевые, то знак скалярного произведения совпадает со знаком cos j. Если угол j не превосходит p, то cos j положителен тогда и только тогда, когда j - острый угол, и отрицателен тогда и только тогда, когда j - тупой угол.                                                                                                                             Ч.т.д.

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1)   аb = ba – свойство коммутативности.

2) =  - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство.

3) =  - сочетательное относительно скалярного множителя свойство.

4) аа >0 если а ненулевой вектор, аа =0, если а – нулевой вектор.

Доказательства.

1) – следует из определения 1.

2) – Воспользуемся формулой  и линейным свойством проекции вектора на ось. = = = + = .

3) Аналогично св-ву 2): = = = .

4)  - скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Þсв-во 4.