Направляющие косинусы

Обозначим буквами a, b, g углы наклона вектора  к осям Ox, Oy и Oz соответственно.

Числа cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . С учетом формулы  и предыдущей теоремы, получаем формулы для координат вектора :

Х=| | cosα, Y=| | cosβ, Z=| | cosγ                   (3)

Т.к. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА=Х, ОВ=Y, OC=Z, получим выражение для длины вектора :

                    (4)

Из (3) и (4) получаем:

; ;      (5)

Возводя в квадрат и складывая равенства (5), получаем:

cos²α+cos²β+cos²γ=1.

Т.к. вектор  однозначно определяется заданием координат, то из (3) следует, что вектор  однозначно определяется заданием его длины и направляющих косинусов.

 Действия над векторами.

={а_х,а_у,а_z}={x,y,z}

Пусть ={х₁,у₁,z₁}, ={х₂,у₂,z₂},

1) =  когда равны их соотв. координаты: х₁=х₂; y₁=y₂; z₁=z₂.

2) Сумма (разность) векторов - вектор. Пусть , тогда

={х₁+х₂,у₁+у₂,z₁+z₂}, ={х₁-х₂,у₁-у₂,z₁-z₂}.

3) Умножение вектора на число- вектор: ={λх₁,λу₁,λz₁}.

Примеры. а ={2; -3;0}, b ={1;3;-2}. a+2b={4;3;-4}.

 

 

.

Скалярное произведение векторов.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

                          (1)

Рассмотрим проекцию вектора  на ось, определяемую вектором .

Тогда,                             (2)

Из (1) и (2) следует:                    (3)

Аналогичным образом получаем:         (4)

Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Определения 1 и 2 эквивалентны.

Механический смысл. Если вектор  изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа w определяется равенством:

w= , т.е. равна скалярному произведению векторов  и .