Свойства проекции вектора на ось

1) Проекция суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) проекций векторов на ось

пр_u()=

2) Постоянный множитель можно выносить за знак проекции:

Угол наклона вектора =  к оси u определяется как угол j между двумя выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора = , а другой – направление, совпадающее с направлением оси u. (Рисунок)

На величину угла наклона вектора  к оси u не влияют выбор точки М выхода указанных лучей и замена оси u любой другой осью v, имеющей то же направление, что и ось u.

Теорема. Проекция вектора  на ось u равна произведению длины  на косинус угла φ наклона вектора  к оси u: .

Доказательство. Обозначим через v ось, проходящую через начало А вектора  и имеющую то же направлении, что ось u, и пусть С – проекция В на ось v. Тогда ÐВАС=j, где j - угол наклона вектора =  к любой из осей u или v, причем точка С лежит в указанной проецирующей плоскости b(т.е. в плоскости, перпендикулярной оси u и проходящей через точку В). (Рисунок)

А₁В₁=АС (А₁В₁–величина вектора  оси u, а АС–величина вектора  оси v), т.к. оси u и v параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей заключенные между параллельными плоскостями a и b, равны. Т.к. по определению , то получаем равенство:                             =АС                       (1)

Но величина АС представляет собой проекцию вектора  на ось v и

АС= =                            (2)

Сопоставляя 91) и (20, получим                                  ч.т.д.

Аффинные координаты (от лат. affinis – соседний, смежный).

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , ,   и некоторой точкой О, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора  (относительно базиса , , ). Т.к. каждый вектор  может быть единственным образом разложен по базису , , , то каждой точке пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат l, m, n.

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат, отвечающей тройке взаимно ортогональных единичных базисных векторов.

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Базисные векторы принято обозначать  - три взаимно ортогональных единичных вектора.

Любой вектор  () можно единственным образом разложить по декартовому базису с коэффициентами а_х, a_y, a_z (X,Y,Z):

.

Коэффициенты а_х, a_y, a_z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора  в базисе .

Если М – любая точка пространства, то декартовы координаты этой точки совпадают с декартовыми координатами вектора .

Координатами вектора  называют координаты его конечной точки. (на рис. коорд. вектора =  на плоскости ={х,у}, в пространстве - ={x,y,z}).

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора  равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz.

(Доказательство на стр. 61)