2020-10-12
116
Теорема. Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и c, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если же векторы a, b и c компланарны, то abc= 0. V=±abc
Доказательство.
Исключим тривиальный случай, когда векторы a и b коллинеарны. В этом случае векторы a, b и c – компланарны и их смешанное произведение равно нулю, т.к. векторное произведение a×b двух коллинеарных векторов равно нулю.
Пусть векторы a и b не коллинеарны. Обозначим через S - площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, а через е – орт векторного произведения a×b.
Учитывая формулы: a × b= S е и 
, получим:
аbc=( S е)с= S(ес)= S| е|× пре с =S × пре с (12)
Предположим, что векторы a, b и c не компланарны. Тогда пре с с точностью до знака равна высоте h параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, в основании которого лежит параллелограмм, построенный на векторах a и b.
(a×b) c=|a×b|·|c|cos φ=S·|c|cos φ=S·прdc
|
|
|
Согласно геометрическому свойству векторного произведения |a×b|=S, где S –площадь основания, получаем:
S·|c|cos φ
Т.о. правая часть (12) с точностью до знака равна объему V построенному на векторах a, b и c параллелепипеда.
Очевидно, что пре с=+ h, если векторы е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, и пре с= -h, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной плоскости.
Но это означает, что пре с=+ h, если тройки аbc и аbе одной ориентации, и пре с=- h, если эти тройки противоположной ориентации.
Т.к. по определению векторного произведения тройка аbе является правой, то
пре с = 
Если векторы a, b и c компланарны, то вектор с лежит в плоскости, определяемой векторами a и b, откуда следует, чтопре с= 0и, следовательно из (12)Þ, что abc= 0. ч.т.д.
Следствие 1.
Объем соответствующего тетраэдра(правильной пирамиды) равен:
V=±1/6 abc=1/6|abc|
