Приложение смешанного произведения

1. Определение ориентации тройки векторов. Если abc>0, то тройка векторов, которая его образует, является правой.

Если abc<0, то тройка векторов, которая его образует, является левой.

2. Определение компланарности векторов.

3. Вычисление объемов параллелепипеда и тетраэдра, построенного на векторах.

Пример. Определить ориентацию тройки векторов ijk.

ijk= = 1>0 – правая тройка векторов.

Двойное векторное произведение.

Пусть даны три произвольных вектора a, b и c. Если вектор b векторно умножается на вектор с, а вектор а также векторно умножается на векторное произведение b´c, то полученный при этом вектор а´(b´c)=[a[bc]] называется двойным векторным произведением.

Теорема. (Док-во на с.79). Для любых векторов a, b и c справедлива формула:

а´(b´c)=[a[bc]]=b(ac)-c(ab)                    (13)

Из формулы (13) Þ (а´b)´c=[[ab]c]=b(ac)-a(bc)         (13¢)

(Т.е. средний вектор, умноженный на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных.)