2020-10-12
257
Цель занятия: усвоение понятий векторного и смешанного произведений векторов, выработка навыков вычисления векторного и смешанного произведений и использование их в приложениях.
Векторное произведение векторов
3.1.1 Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов 
и 
называется вектор, обозначаемый 
× , удовлетворяющий следующим требованиям:
1) длина вектора × равна 
, где 
, 
;
2) вектор × ортогонален обоим векторам и ;
3) тройка векторов , , × является правой.
Если векторы и коллинеарны, то полагают × = 
.
При вычислении векторного произведения полезно использовать его свойства. Перечислим их.
3.1.2 × = − × .
3.1.3 
× = 
, 
R.
3.1.4 × 
× + × 
.
3.1.5 Если × = , то векторы , коллинеарны.
3.1.6 Длина 
векторного произведения × равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Пусть векторы и заданы своими координатами относительно правого ортонормированного базиса 
, т.е. 
, 
. Тогда
× = 
. (9)
Приложения векторного произведения в механике и физике связаны с понятием момента силы. Моментом силы 
, приложенной к точке B, относительно некоторой точки А называется векторное произведение 
.
3.1.7 Пример. Заданы векторы 
, 
. Найти координаты векторов 
, 
.
Решение. Вычисляем координаты вектора по формуле (9):
= 
.
Координаты вектора 
определим с помощью свойств векторного произведения векторов. Имеем = = 
2 
(поскольку 
=0).
3.1.8 Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
, если 
; 
.
Решение. Имеем 
(поскольку 
). Итак 
(кв. ед.).
