Скалярное произведение векторов

2.2.1 Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или , равное , – угол между и . Итак,

, . (5)

Основные свойства скалярного произведения:

1) = ; 3) ; 5) =0 .

2) = = ; 4) = + ;

Если векторы и заданы в ортонормированном базисе , то можно записать скалярное произведение с помощью координат этих векторов:

. (6)

Угол между векторами:

. (7)

2.2.2 Определение. Проекцией вектора на вектор называется число

, (). (8)

С учетом (7) данную формулу можно записать в виде

Числа

; ; ;

называются направляющими косинусами вектора .

Приложения скалярного произведения в механике и физике связаны с понятием работы постоянной силы. Если материальная точка, на которую действует сила , переместилась из положения в положение , то работаравна скалярному произведению .

2.2.3 Пример. Найти скалярное произведение (3 –2 )×(5 – 6 ), если .

Решение. Согласно свойствам (1–4), (3 –2 )×(5 –6 )=15 × × –
–10 × +12 × =15 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

2.2.4 Пример. Найти угол между векторами = (3, 4, 5), = (4, –5, 3).

Решение. По формуле (7) получаем

2.2.5 Пример. Доказать, что векторы = (1,2,3), = (8, –1, –2) перпендикулярны.

Решение. По формуле (6) находим: . Следовательно, по свойству (5) векторы и перпендикулярны.

Упражнения

2.3.1 Найти координаты линейной комбинации векторов и , если

1) , , ;

2) , , .

2.3.2 Векторы и лежат в одной плоскости, известны их координаты в некотором базисе этой плоскости. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

1) , , ;

2) , , .

2.3.3 Даны векторы , , . Показать, что векторы образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора в «старом» базисе , если

1) , ; 2) , .

2.3.4 Векторы , заданы своими координатами в некотором базисе пространства. Показать, что векторы образуют базис пространства, и найти координаты вектора в базисе .

1) , , , ;

2) , , , .

2.3.5 Вычислить , если , , где и – единичные векторы, угол между которыми равен .

2.3.6 Даны точки и . Найти , направляющие косинусы вектора , величину проекции вектора на базисный вектор .

2.3.7 Найти неизвестную координату вектора , если .

2.3.8 Найти угол между векторами и .

2.3.9 При каких векторы и ортогональны?

2.3.10 Даны вершины четырехугольника , , , . Доказать, что его диагонали и взаимно перпендикулярны.

2.3.11 Найти , если , , .

2.3.12 Доказать, что векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .

2.3.13 Даны три силы , и , приложенные в одной точке. Вычислить какую работу производит равнодействующая этих сил, когда точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .