Базисы и координаты векторов

2.1.1 Определение. Два любых линейно независимых вектора некоторой плоскости называются базисом этой плоскости. Три любых линейно независимых вектора называют базисом пространства.

В пространстве нужно различать правые и левые базисы. Базис называется правым (левым), если при наблюдении с конца вектора вращение вектора по кратчайшему пути к вектору происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке).

На рисунке 4,а изображен левый базис (вектор направлен от наблюдателя), а рисунке 4,б изображен правый базис (вектор направлен от наблюдателя). Если векторы , , попарно ортогональны, то базис называется прямоугольным. Прямоугольный базис называется ортонормированным, если все векторы этого базиса имеют единичную длину. Обычно ортонормированный базис обозначается . Аналогично на плоскости. Если к базису на плоскости (в пространстве) добавить точку (начало отсчета), то возникает система координат на плоскости (в пространстве). Введенные для базисов понятия автоматически переносятся на системы координат.

2.1.2 Теорема. Пусть – произвольный базис в пространстве. Тогда для любого вектора пространства имеет место разложение

. (2)

Разложение (2) единственно.

Аналогичное разложение имеет место для любого вектора некоторой плоскости относительно любого базиса этой плоскости. Далее формулируем результаты для векторов в пространстве; соответствующие результаты для плоскости очевидны.

2.1.3 Определение. Коэффициенты , , в разложении (2) называют координатами вектора в базисе и пишут . Координатами точки M в системе координат называют координаты вектора в базисе .

2.1.4 Теорема. Координаты вектора, являющегося линейной комбинацией других векторов, равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Важным является вопрос о связи координат вектора в различных базисах. Пусть в пространстве заданы два базиса и причем

(3)

Если известны координаты , , вектора в «новом» базисе , то координаты , , этого вектора в «старом» базисе можно найти по формулам:

(4)

Более того, можно решить и обратную задачу. Если известны координаты , , вектора в базисе , то координаты , , этого вектора в «новом» базисе можно найти, решая систему линейных уравнений (4).

2.1.5 Пример. Даны векторы , , , . Доказать, что векторы образуют базис в пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Убедимся, что векторы линейно независимы, т.е. векторное равенство возможно лишь при . Действительно, в соответствии с теоремой (п.2.1.4) имеем:

Данная система имеет тривиальное решение (), если ее определитель

отличен от нуля. Убеждаемся, что . Таким образом, тройка векторов линейно независима и образует базис. Нам известны координаты вектора в некотором «старом» базисе . Для того, чтобы найти координаты вектора , в «новом» базисе , составим систему уравнений вида (4) и решим её. В этой системе координаты векторов располагаются по столбцам: