Основные способы задания плоскостей

Считаем, что в пространстве задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки M обозначаем, как правило, . Основной результат о задании плоскости в пространстве заключается в следующем.

5.1.1 Теорема. Любая плоскость в пространстве может быть задана линейным уравнением вида

                                 .                                    (20)

Наоборот, каждое уравнение вида (20) задает в пространстве некоторую плоскость.

Отметим, что вектор  ортогонален плоскости (20) и называется нормальным вектором этой плоскости. Уравнение (20) называют общим уравнением плоскости. Различные модификации уравнения (20) связаны с различными способами задания плоскости. При решении задач, связанных с использованием плоскостей, следует выбирать тот способ задания плоскости, который в данном случае наиболее эффективен. Перечислим основные способы задания плоскостей.

5.1.2 Плоскость П определяется одной своей точкой  и своим нормальным вектором . Уравнение имеет вид:

                      .                          (21)

5.1.3 Плоскость П определяется тремя своими точками , , . Её уравнение имеет вид:

                                                         (22)

5.1.4 Плоскость П определяется двумя своими точками ,  и вектором , параллельным этой плоскости. Уравнение плоскости имеет вид:

                                                         (23)

5.1.5 Плоскость П определяется одной своей точкой  и двумя векторами , , параллельными этой плоскости. Уравнение плоскости П имеет вид:

                                                           (24)

При решении задач полезно использовать признаки взаимного расположения плоскостей. Пусть П₁:  и П₂:  – две плоскости. Эти плоскости:

1) совпадают, если ;

2) параллельны, если , т.е. если векторы  и  коллинеарны;

3) пересекаются, если их нормальные векторы  и  неколлинеарны.

Угол между двумя плоскостями П₁ и П₂ следует искать как угол между их нормальными векторами  и .

5.1.6 Пример. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку  и перпендикулярна плоскостям , .

Решение. Нормальные векторы ,  непараллельны, поэтому плоскости П₁ и П₂  пересекаются. Плоскость П, перпендикулярная к каждой из плоскостей П₁ и П₂, перпендикулярна и к линии их пересечения (рисунок 8). На основании этого найдем нормальный вектор  искомой плоскости П как векторное произведение  и :

Используя (21), запишем уравнение плоскости П:

, .

Возможен и другой вариант решения. Пусть  произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы , ,  компланарны, поэтому

                              

, .

Упражнения

5.2.1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной вектору .

5.2.2 Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

5.2.3 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и перпендикулярной плоскости .

5.2.4 Найти расстояние от точки  до плоскостей:

1) 2 ;      2) .

5.2.5 Исследовать взаимное расположение плоскостей. В случае, если плоскости П₁ и П₂  пересекаются, найти угол между ними.

1) ; ;

2) ; ;

3) 2 ; ;

4) 2 ; .

5.2.6 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  и параллельной плоскости Оyz.

5.2.7 Построить плоскости:

1) ;          3) ;

2) ;                  4) .

5.2.8 Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плоскостью  угол .

Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2–3], [2, гл. 5, §5.2, 5.3, 5.10, 5.11], [3, гл. 1, §1.5].

5.3.1 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки  и В (5,−3, −2) и перпендикулярной плоскости .

5.3.2 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно линии пересечения плоскостей  и .

5.3.3 Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

;    .

5.3.4 Построить плоскости:

1) ;     2) .