Основные способы задания прямых на плоскости

Считаем, что на плоскости задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки обозначаем . Основополагающий результат о задании прямой на плоскости заключается в следующем.

4.1.1 Теорема. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

. (12)

Наоборот, любое уравнение вида (12) задает на плоскости некоторую прямую.

Заметим, что вектор ортогонален прямой (12) и называется нормальным. Уравнение (12) называют общим уравнением прямой. Различные модификации уравнения (12) связаны с различными способами задания прямых. Для успешного решения задач о прямых на плоскости необходимо усвоить следующие основные способы задания прямых.

4.1.2 Прямая определяется одной своей точкой и нормальным вектором . Её уравнение имеет вид:

. (13)

4.1.3 Прямая определяется двумя своими точками и . Её уравнение имеет вид:

или . (14)

Число во втором выражении (14) называется угловым коэффициентом прямой . Известно, что , где – угол между прямой и осью (или между и вектором ).

4.1.4 Прямая определяется одной своей точкой и угловым коэффициентом . Её уравнение имеет вид:

. (15)

4.1.5 Прямая определяется одной своей точкой и вектором , параллельным . Её уравнение имеет вид:

. (16)

Вектор называется направляющим вектором прямой , а равенство (16) называют каноническим уравнением прямой L.

4.1.6 Если известна точка прямой и еёнаправляющий вектор, то она может быть задана параметрическими уравнениями:

(17)

где параметр, .

Пусть заданы две прямые : и : . Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых:

1) они совпадают, если ;

2) они параллельны, если ;

3) они пересекаются, если .

Угол между прямыми и удобнее всего находить как угол между их направляющими векторами. Если же известны угловые коэффициенты и прямых и , то угол между ними можно найти поформуле

. (18)

4.1.7 Пример. Даны две вершины , треугольника и точка пересечения его высот (рисунок 6). Найти: уравнения сторон , СА и СВ, внутренний угол при вершине С, координаты точки С.

Решение.

1 Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки (см. формулу (13)), получим уравнение стороны :

или .

Далее, так как , а , то запишем уравнения сторон СА и СВ в виде (13), где нормальный вектор к прямой, а фиксированная точка на ней. Учитывая, что и имеем

, ();

, ().

2 Угол при вершине С есть угол между сторонами и , который можно определить воспользовавшись выражением (18). Для этого запишем уравнения этих сторон в виде (15), т.е.:

;

В этом случае согласно формуле (15) имеем , и в соответствии с (18) имеем или .

3 Для нахождения координат точки С составляем систему уравнений

Решая ее, получаем .

4.1.8 Пример. Задана прямая .Найти расстояние от точки до данной прямой.

Решение. Прежде всего проверим принадлежит ли точка данной прямой . Имеем , значит . Для нахождения расстояния от до воспользуемся скалярным произведением векторов. На прямой выберем произвольно точку , например .Тогда расстояние от до есть длина отрезка , .

Длину отрезка выразим с помощью скалярного произведения вектора и нормального вектора прямой (рисунок 7). Имеем

, т.е. . (19)

В соответствии с формулой (19) получаем

Указанный способ нахождения расстояний применим и в случае плоскости, и в случае прямой в пространстве. В этом смысле он универсален, и мы рекомендуем применять его во всех аналогичных ситуациях.

Упражнения

4.2.1 Составить уравнение прямой, проходящей через точки и и сделать чертеж:

1) , ; 2) , .

4.2.2 Составить параметрические уравнения прямой .

4.2.3 Прямая задана параметрическими уравнениями

Найти нормальный вектор этой прямой и записать общее уравнение этой прямой.

4.2.4 Дана прямая . Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно данной прямой.

4.2.5 Известны вершины треугольника , , .

Требуется:

1) написать уравнения сторон этого треугольника;

2) написать уравнение высоты AD и найти её длину;

3) написать уравнение медианы BF и найти её длину;

4) найти угол при вершине A треугольника;

5) найти угол между высотой AD и медианой BF.

4.2.6 Вычислить расстояние от точки до прямой .

4.2.7 Написать уравнение прямой, проходящей посередине между параллельными прямыми и .

4.2.8 Написать уравнение прямой, параллельной прямой и отстоящей от неё на расстоянии

4.2.9 Записать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к прямой .

4.2.10 Известны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей: , . Известна точка пересечения его диагоналей . Найти уравнения остальных сторон ромба.