Тема: Скалярний, векторний і мішаний добутки векторів. Властивості та застосування в задачах

 

План лекції

1. Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Вираз скалярного добутку через координати.

2. Векторний добуток двох векторів, його властивості. Вираз векторного добутку через координати.

3. Мішаний добуток трьох векторів. Властивості мішаного добутку. Вираз мішаного добутку через координати векторів - множників.

 

Скалярний добуток і його властивості.

Означення 1. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добуткові їх абсолютних величин на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів  та  позначається символом  або ; абсолютна величина позначається  і обчислюється за формулою, якщо

,

 то

.

Отже, на основі означення отримаємо формулу:

                                  (1.1)

де - кут між векторами  та .

Оскільки ,

то

                                                  (1.2)

Основні властивості скалярного добутку

1.  

2.

3.

4.

5. якщо або один з них, або обидва є нульовим вектором.

 

Якщо вектор зображує силу, точка прикладання якої перемішується з початку в кінець вектора , то робота А цієї сили визначається рівністю

 

                          (1.3)

 

Визначення скалярного добутку через координати.

Якщо , то отримаємо формулу для знаходження скалярного добутку:

                  (1.4)

Отже, скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат.