Геометричне тлумачення мішаного добутку векторів

Мішаний добуток, який є числом, має таке геометричне тлумачення: якщо вектори  не компланарні, то їх мішаний добуток дорівнює об’ємові V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (мають спільний початок, тобто виходять з однієї точки), як на сторонах, якщо трійка  - права і мінус V паралелепіпеда, якщо ця трійка ліва. Висота h паралелепіпеда дорівнює . Отже його об’єм обчислюється за формулою

             (1.10)

 

мал.10

Основні властивості мішаного добутку

1.

2. якщо мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, то вектори компланарні.

 

Умова компланарності трьох векторів.

Якщо вектори  компланарні, то , тобто

 

                              (1.11)

Вираження мішаного добутку через координати векторів.

Нехай дані координати векторів

 

то мішаний добуток обчислюється за формулою:

 

                             (1.12)

Приклад 10. Знайти мішаний добуток векторів

.

Розв’язання:

Застосовуючи формулу (1.12) отримаємо

Відповідь: Мішаний добуток векторів  дорівнює 26.

 

Приклад 11. Перевірити, чи точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежать в одній площині.

Розв’язання:

Умова, чи знаходяться точки в одній площині – це є умова компланарності векторів.

Знайдемо координати векторів і обчислимо їх мішаний добуток. Отримаємо:

 

 

Отже, дані вектори компланарні, тобто лежать в одній площині.

Відповідь: Точки А, В, С, D лежать в одній площині.