Застосування векторного добутку векторів

Розглянемо задачі які при їх розв’язанні застосовується векторний добуток векторів.

Задача 1. Обчислення площі паралелограма, побудованого на векторах  та . Модуль векторного добутку  дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах  та , які мають спільний початок, тобто виходять з однієї точки. Отже площа паралелограма дорівнює добуткові його суміжних сторін на синус кута між ними, тобто  тому можна вивести формулу для обчислення площі паралелограма:

               (1.7)

Формула (24) є формулою для обчислення площі паралелограма.

З обчислення площі паралелограма знаходимо формулу обчислення площі трикутника вона буде дорівнювати половині площі паралелограма, тобто

                          (1.8)

мал. 9

Формула (1.8) є формулою для обчислення площі трикутника.

Задача 2. Обчислення моменту сили. Момент сили , прикладеної в точці М, відносно фіксованої точки О. Якщо вектор зображує силу, прикладену до точки М, а вектор , то вектор є моментом сили відносно точки О, тобто

                                       (1.9)

 

Формула (1.9) є формулою для обчислення моменту сил.

Приклад 7. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах

Розв’язання:

Застосовуючи формулу (1.7) отримаємо

 Тому площа дорівнює:

Відповідь: Площа паралелограма дорівнює

Приклад 8. Знайти площу просторового трикутника з вершинами у точках

А(1; 2; 1), В(4; 3; 2), С(2; 4; 4).

Розв’язання:

           Нехай  Знаходимо :

Площа трикутника ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах  та :

Відповідь: Площа ΔАВС дорівнює

Приклад 9. Сила  прикладена до точки М(1; 2; 3). Знайти момент цієї сили відносно точки А(3; 2; -1).

Розв’язання:

Знаходимо координати вектора  і застосовуючи формулу (1.9) отримаємо

Відповідь: Момент сили  дорівнює

Визначення мішаного добутку трьох векторів і його властивості.

Означення 3. Мішаним добутком векторів  називається векторний добуток векторів  на скалярний добуток вектора .

 

Мішаний добуток векторів  позначається символом