Застосування мішаного добутку векторів

Розглянемо задачі які при їх розв’язанні застосовується мішаного добутку векторів.

Задача 1. Обчислення об’єму тетраедра (трикутної піраміди) Об’єм трикутної піраміди АВСD становить одну шосту об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах , тобто

                                         (1.13)

 

Приклад 12. Знайти об’єм піраміди, вершини якої знаходяться в точках А(2; -1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; -1), D(4; 1; 3).

Розв’язання:

Знаходимо координати векторів :

 

далі обчислюємо їх мішаний добуток

 

 

Використовуючи формулу (1.13) отримаємо

Відповідь: Об’єм піраміди дорівнює

Приклад 13. Дано вершини тетраедра: А(2; 3; 1), В(4; 1; -2), С(6; 3; 7), D(9; -4; 8). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини D на площину АВС.

Розв’язання:

Знаходимо координати векторів , які збігаються з ребрам и тетраедра

 далі обчислюємо їх мішаний добуток

 

 

Використовуючи формулу (1.13) отримаємо

З іншого боку

.                             (1.14)

де h – висота піраміди.

Використовуючи формулу (1.8) то площа ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах , тобто

 

 

Площа трикутника ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах :

Відповідь: Довжину висоти, опущеної з вершини D дорівнює 5 од.

Підсумок заняття.

Контрольні питання

1. Що називають скалярним добутком двох векторів?

2. Для яких векторів скалярний добуток дорівнює нулю?

3. Які властивості скалярного добутку?

4. Як записати скалярний добуток двох векторів у координатній формі?

5. Як знайти кут між двома векторами?

6. Як знайти кути, що утворює вектор з координатними осями?

7. Чому дорівнює модуль вектора у координатній формі?

8. Що називають векторним добутком двох векторів?

9. Які властивості векторного добутку?

10. Який вираз має векторний добуток двох векторів у координатній формі?

11. Чому дорівнює модуль векторного добутку?

12. Що називають мішаним добутком трьох векторів?

13. Який геометричний зміст мішаного добутку трьох векторів?

14. Яка умова компланарності трьох векторів?

15. Як записати мішаний добуток трьох векторів у координатній формі?

16. Яка умова того, що чотири точки лежать в одній прямій?