Кут між двома векторами

Якщо відомі координати векторів  та , то

  (1.5)

 

Приклад 1. Обчислити , якщо .

Розв’язання:

Користуючись формулою (1.4) знаходимо

Відповідь:

Приклад 2. При якому значенні m вектори  будуть перпендикулярними?

Розв’язання:

Два вектори перпендикулярні, якщо скалярний добуток дорівнює нулеві, тобто користуючись формулою (1.4) знаходимо скалярний добуток векторів  та , тобто Оскільки вектори  та  перпендикулярні, то Отже, Звідси отримаємо, що

Відповідь: При  вектори  та  перпендикулярні.

Приклад 3. Обчислити роботу, яка виконує сила , коли її точка прикладання рухається прямолінійно, переміщуючись із положення А(2; -3; 5) в положення В(3; -2; -1).

Розв’язання:

Згідно з формулою (1.3) робота . Вектор переміщення .

Тоді  Отже, робота А, яку виконує сила , дорівнює 31.

Відповідь:  робота А дорівнює 31.

Приклад 4. Дано вершини ΔАВС А(-1; 2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1). Знайти його внутрішній кут при вершині В.

Розв’язання:

Кут φ – це кут між векторами  Тоді використовуючи формулу (1.5) отримаємо:

 

Отже, φ=45⁰.

Відповідь: Кут при вершині В дорівнює 45⁰.

Приклад 5. Дано вектори  Знайти проекцію вектора .

Розв’язання:

Користуючись формулою (1.2) знаходимо

.

Далі знаходимо скалярний добуток векторів .

.                                                      

Відповідь: Проекція вектора дорівнює

Векторний добуток і його властивості.

Означення 2. Векторним добутком векторів  та  називається , який задовольняє умовам:

1) вектор  перпендикулярний до векторів  та ;

2) довжина  вектора  дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах  та ;

3) якщо звести вектори  та  та  до спільного початку, то спостерігач, який міститься в кінці вектора  бачитиме найкоротший поворот від вектора  до вектора , таким, що відбувається проти годинникової стрілки

Рис. 11