Поділ відрізка в заданому відношенні

Кажуть, що точка М ділить відрізок [АВ] у відношенні ,тобто  , тому  Нехай А (х₁,у₁z₁), В(х₂,у₂,z₂). Тоді координати токи М (х; у; z) обчислюються за формулами

(16)

Якщо точка М є серединою відрізка [АВ], тобто , то  і формула (16) набуває вигляду

                                     (17)

 

Приклад 7. Відрізок з кінцями в точках А (3,-2)і В (6,4) розділено на три рівні частини. Знайти координати точок поділу.

Рис.6

Розв’язання:

Нехай С, D – точки поділу відрізка [АВ] на три рівні частини (малюнок дано). Зрозуміло, що  . Тому точка С ділить відрізок [АВ] у відношенні . Використовуючи формули (16), знаходимо координати точки С:

, тобто С (4,0).

Із рівності  випливає, що точка D ділить відрізок [АВ] у відношенні . Тому координати точки D:  D (5; 2).

Відповідь: Координати точки D (5;2), С (4,0).

 

Приклад 8. Знайти координати центра мас однорідної пластини, яка представлена у вигляді трикутника АВС, якщо А (5; 1; 13), В (11; 3; 8), С(2; 5; 0).

Розв’язання:

Центром мас трикутника є точка перетину медіан. Медіана – це відрізок прямої, який сполучає будь-яку вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Рис.7

Тоді точка К є серединою відрізка ВС і її координати знаходимо за формулою (16):

Медіани трикутника перетинаються в точці, яка ділить їх у відношенні 2:1, починаючи від його вершини. Якщо О – точка перетину медіан, то , тобто λ=2 і за формулою (16) отримаємо:

Отже, О(6; 3; 7).

Відповідь: Координати точки О(6; 3; 7).

 

 

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ.

Скалярний добуток і його властивості.

Означення 13. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добуткові їх абсолютних величин  на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів та позначається символом (, ) або ·

Отже, на основі означення отримаємо формулу:

                                       (18)

де - кут між векторами та .

Оскільки ,

то

(19)

Основні властивості скалярного добутку

1.  

2.

3.

4.

5. якщо  або серед них є хоча б один ненульовий вектор.

Якщо вектор зображує силу, точка прикладання якої переміщується з початку в кінець вектора , то робота А цієї сили визначається рівністю

                                                             (20)