Допустимые стратегии в статистических играх

Допустим, что рассматривается смешанная стратегия:

P(x)=(a).

Возможно два случая:

Нельзя найти ’(а) — другая стратегия, когда потери:

L(V, ’)L(V, ), VZ

Если такая стратегия ’(a) существует, то стратегия (а) недопустима.

(а) a= x (a)p(x)

Стратегия (а) — допустимая, если нельзя найти другую стратегию ’(a): L(V, ’)L(V, ) — условие недопустимости стратегии (а).

Допустимая стратегия не обязательно является предпочтительной. Допустимую стратегию удобно рассматривать в рамках S-игры.

Если V=(VV), то потери можно рассмотреть на плоскости.

Множество значений этих потерь можно сопоставить с выпуклой линейной оболочкой S*.

Рассмотрим некоторую точку SS*, проведём отрезок из начальных координат в эту точку. Очевидно, что все точки, расположенные на этом луче и множество S* будут давать потери, меньшие, чем потери S*. Наименьшие потери будут а точке S, которая является пересечением луча и нижней левой границы выпуклой оболочки.

Допустимыми могут быть стратегии, принадлежащие участку линейной оболочки, который является дугой AB. Все стратегии, которые определяются точками линейного множества S*, не принадлежащие её левой нижней границе, можно исключить из рассмотрения. А точки, принадлежащие дуге АВ, в некотором смысле эквивалентны, т. к. при перемещении по этим точкам можно уменьшить потери в одном состоянии и увеличить в другом (сразу всё уменьшить невозможно).

Пример: «задача о технологической линии»

Нижняя левая граница состоит из точек C, Cи С

WC+(1-W)C WC+(1-W)C

Смешанная стратегия (а) = (W, 1-W, 0), (a) = (0, W, 1-W)

Определим потери статистика для этих стратегий: L(V, ) = W*0 + 1*(1-W) = 1-W, L(V, ) = 5*W + 3(1-W) = 3 + 2W

L(V, ) = 1*W + 3(1-W) = 3 – 2W

L(V, ) = 3W + 2(1-W) = 2+ W

Рассмотрим возможные пути выбора смешанных стратегий статистика.

1. Принцип минимакса (min max);

2. Байесовский принцип.

Принцип минимакса ориентирует статистика на выбор такой смешанной стратегии (а), при которой его потери в наихудшем состоянии природы минимальны.

Применим этот принцип для выбора W в задаче.

1 случай:

В наихудшем состоянии природы эти потери определяются прямой V: W = 0 *(0 1 0), потери равны 3.

2 случай:

3 -2W = 2 + W

1 = 3W; W = 1/3

* (0 1/3 2/3); V = 7/3 (цена игры).

В наихудшем состоянии природы потери определяются верхней границей, минимум в точке О.

Иногда значение функции потерь удобно приводить к определённому нулевому уровню. Очевидно, для нахождения состояния природы L(V, a)L(V, a)

Этот минимум определяет минимальные затраты, которые может понести статистик при каждом состоянии природы.

L’(V, ) = L(V, ) - L(V, a)

В предыдущей задаче о ПДК потери определялись следующим образом:

V	a1	a2	a3
V1		1-0=1	3-0=3
V2	5-2=3	3-2=1	2-2=0

Очевидно, что принцип минимакса можно применять и для дополнительных потерь.

Байесовский принцип направлен на принятие решения, исходя из априорных оценок вероятностей состояния природы.

q(V) (V)

Если q — априорная вероятность состояния природы, то можно говорить о потерях:

L(, ) =

Матрица потерь статистика в игре:

* =

(V), i =

L(, ) = L(V, a) * (a) * (V)min

Наилучшей стратегией будет та, при которой байесовские потери L(, ) будут минимальными. Аналогично можно применить байесовский принцип при дополнительных потерях.

Пример: (та же задача)

1 ситуация:

(V) = 0,6. Найдём оптимальную байесовскую стратегию в этой задаче.

(V) = 0,4

L() = (1-W)*0,6 + (3 + 2W)*0,4 = 1,8 + 0,2W 1,8 при W = 0.

(0, 1, 0) – нужно применять вторую технологию.

2 ситуация:

L() = 0,6*(3-2W) + 0,4(2 + W) = 2,6 – 0,8Wmin W=1