Основы аналитических методов построения математических моделей

Классификация математических моделей.

Роль математического моделирования при исследовании, проектировании и эксплуатации теплотехнических систем.

При разработке и исследовании техн-их объектов важным фактом явл-ся технико-экономическое обоснования, в котором рассм-ся предполагаемые источники финансирования. В рез-те этого обоснования проводят выбор рациональных структур и оптимальных пар-ров теплотехнических сис-м. Устное решение этих задач на современном уровне не возможно без применения матем. модели. Реализация матем. модели на данном этапе существующего объекта позволяет решать задачи:

1. исследовать хар-р взаимосвязи и пар-ров сис-мы и проанализировать их влияние на основные показатели, как технические, так и экономические.

2. исследовать влияние внешних условий сооружения и эксплуатации теплоэнергетической установки на соотношение ее пар-ров и технико-экономических показателей.

3. численно оценить дополнительные материальные вложения, снижения КПД, изменения приведенных затрат и ряда других показателей сис-мы, в случае отказа оптимальных пар-ров и схем из-за каких-нибудь технических или экономических причин.

4. оценить структурную и параметрическую оптимизацию сис-мы.

Матем. моделирование позволяет выполнять в едином интерактивном пр-се расчет технологической схемы установки и технические расчеты оборудования, при этом достигается значение тепловых балансов, теплового гидравлического и прочностного эл-ов оборудования, определение тепловых и гидравлических потерь, уточнение КПД и основных показателей сис-мы установок. Такое взаимное уточнение без применения методов мат. моделирования невозможно в виду сложности и трудоемкости многократного повторения расчетов. При этом следует помнить, что мат. модели, разработанные на стадии проектирования технического объекта, м.б. использованы на этапе его эксплуатации. В виду физ. старения оборудования происходит изменение его технических пар-ров, а изменяются: значения оптимальных пар-ров, которые должны уточняться периодически или постоянно при эксплуатации оборудования. При выполнении технико-экономического обоснования следует учитывать, что теплоэнергетические сис-мы явл-ся эл-ми топливно-энергетического комплекса страны, а так же они взаимосвязаны с другими пром. отраслями, а именно металлургией и машиностроением. Вследствие этого при оптимизации следует учитывать не только внутренние связи, но и внешние, т.е. необходимо учитывать общее состояние развития, энергетики, металлургии, машиностроения, вопросы взаимодействия с о.с. Учет внешних связей еще более усложняет задачу оптимизации. В то же время применения матем. моделирования позволяет не только описать известные связи хар-щие исследуемый объект, но так же позволяет раскрыть новые закономерности, как в самом объекте, так и при его взаимодействии с внешними сис-ми. Следует так же учитывать, что применение матем. моделирования повышает ответственность исполнителями, т.е. чел-ка, участвующего в пр-се проектирования оборудования, т.к. возрастает производительность его труда, а и выполняемые объемы за одно и то же время. Таким образом, при выполнении технико-экономического обоснования с применением метода мат. моделирования, необходимо иметь обобщенную модель, включающую в себя модель структуры сис-мы матем. модели эл-ов сис-мы, мат. модели с взаимодействиями с внешней сис-ой. В то же время следует отметить, что основной сложностью внедрения мат. моделирования в инженерную практику, явл-ся большие затраты труда на создание мат. моделей, и создания программного обеспечения для реализации мат. моделей.

Сущ-ет ряд классификаций мат. моделей по различным признакам. Отметим некоторые из них. По признаку соотношений для больших технических сис-м мат. модели можно разделить на 2 группы:

1. детерминированные, т.е. модели, в которых состояние сис-мы в заданный момент времени однозначно определяется через значения ее пар-ров, входящую инф-цию и начальные условия.

2. вероятностные (стохастические), т.е. модели по средствам, которых можно определить лишь распределение вероятностей для состояния сис-мы при известных ее пар-рах, входной ее инф-ции и начальных условий.

В зависимости от способа использования мат. модели при ее реализации можно выделить аналитические модели, когда пр-сы функционирования записываются в виде некоторых функциональных соотношений и логических условий и имитационные модели, когда создается спец. алгоритм, при реализации которого воспроизводится функционирование объектов во времени. Мат. модель можно исследовать 3 способами: аналитически, когда при построении модели в ее основу закладывается некоторая явная зависимость в общем виде; численно, когда невозможно получить аналитическую зависимость, но можно получить численное решение, описывающее состояние сис-мы; качественно, когда возможно только определить некоторые св-ва предполагаемого решения.

, , , , - имея эту зависимость, мы можем рассчитать т-ру в любой точке, либо время.

. Чтобы решить более точно, необходимо применять аналитические методы решения. Мы разбиваем печь на n –частей, делаем интегральный расчет. От уровня представления сис-мы матем. модели м.б. разделены на: модели микроуровня – это уровень теплофизических пр-сов, протекающих в эл-ах теплоэнергетических установок; макроуровень – это уровень теплотехнических установок и сис-м; метод уровня – это уровень взаимодействия теплотехнических сис-м с внешними сис-ми.

Методы построения мат. моделей можно разделить на 3 вида: аналитический, имперический и комбинированный.

По способу их построения: ручные и автоматизированные.

Аналитические методы построения мат. модели позволяют получить мат. описание объекта исследования в широком диапазоне изменения его пар-ров. Сам пр-сс построения модели в данном случае включает в себя следующие этапы:

1. теоретический анализ пр-сов, протекающих в объекте исследования.
2. определение пр-сов наиболее существенно влияющих на работу объекта, в зависимости от поставленной задачи исследования.
3. определение пар-ров, хар-щих каждый из пр-сов, выбранных на 2-м этапе: описание статики и динамики этих пр-сов.
4. построение мат. модели для объекта в целом, исходя из описания выделенных пр-сов.

В данном способе получения мат. модели наиболее трудно подается алгоритмизация, и в каждом случае требуется индивидуальный подход т.е. не сущ-ет универсального алгоритма, позволяющего построить модель аналитическим способом. Тем не менее сущ-ют общие основные подходы:

1-я общая черта закл-ся в том, что в основу построения мат. модели, закладываются основ- ные законы природы, а именно законы сохранения материи и движения, которые дополня-ются при необходимости законами, полученными опытным путем. Законы сохранения записывают в виде закона сохранения в-ва (материального баланса), и закона сохранения движения или энергии (энергетический баланс). Эти у-ния представляются на диф. уровне по принципу “прибыль” – “убыль” = 0 – для статических или стационарных; и “прибыль” – “убыль” = “приращение” – для нестационарных или динамических. В рез-те применения аналитических методов к пр-сам гидроаэродинамики и ТМО, получают мат. описание в виде у-ния или сис-мы у-ний, (диф. частных производных), которые дополняют- ся условиями однозначности, в которые входят: геометрические пар-ры исследуемой сис-мы, граничные условия и начальные условия. Совокупность граничных и начальных условий наз-ют краевыми условиями.

2-я общей чертой аналитического метода построения мат. модели явл-ся институт допущений. В виду нашей ограниченности знаний об исследуемой сис-ме и невозможности построения абсолютно точной модели необходимо вводить ряд допущений. В качестве примера перечислим допущения, которые применяются при изучении теплопроводности в твердых телах:

1. тело однородно и изотропно.

2. физ. пар-ры постоянны.

3. деформация рассм-мого объема, связанное с изменением т-ры, явл-ся очень малой величиной по сравнению с самим объемом.

4. макроскопические частицы тела неподвижны относительно друг друга.

5. внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае м.б. заданны как ф-ции от координат, распределены равномерно.

При применении аналитических методов построения мат. модели часто необходимо включать дополнительное у-ние, или численные пар-ры, полученные опытным путем, или в рез-те физ. эксперимента, что вызвано необходимостью сделать сис-му у-ний замкнутой или другими словами привести к соответствию число у-ний к числу неизвестных пар-ров.