Общие принципы и подходы к решению задач оптимизации

Пр-сс оптимизации можно представить в виде 3 этапов:

1. составление мат. модели, отражающее функционирование оптимизируемого объекта.

2. формирование целевой ф-ции.

3. непосредственно решение оптимизационной задачи.

Целевая ф-ция – это выражение или зависимость между критерием или критериями эффективности и определяющими ее пар-ми.

С математической точки зрения целевая ф-ция описывается n+1 – мерной пов-тью, где n – число определяющих ее пар-ров.

Т.о. при n=1 целевая ф-ция представляется кривой в двухмерном пространстве:

При n=2, представляется некоторой пов-тью в трехмерном пр-ве:

При n ≥ 3 целевая ф-ция представляется гиппер пов-тью не позволяющей изобразить ее обычными ср-ми.

Экстремумы целевой ф-ции разделяют на:

1. глобальные.

2. слабые.

3. локальные.

Точка1 – соответствует глобальному.

Точка2 – соответствует слабому.

Точка3 – соответствует локальному.

Область поиска экстремума – наз-ся областью оптимизации и определяется ограничениями, которые накладываются на пар-ры, определяющие целевую ф-цию. Ограничения м.б. представлены либо в виде некоторых равенств, либо неравенств.

Если в общем случае имеемn пар-ров, то

или

Если из условия равенства можно выразить определяющий пар-р в явном виде, то это позволяет понизить размерность задачи оптимизации, заменив данный пар-р соответствующим выражением.

Задача: требуется спроектировать бак теплового аккумулятора объемом 1м³. Форма бака цилиндрическая вертикальная. Высота д.б. не менее 1.2 м. Теплопотери с пов-ти д.б. минимальными.

Следует отметить, что с наличием ограничений оптимальное значение целевой ф-ции может достигать не в месте, где ее пов-ть имеет нулевой вариант, а в других точках, часто на одной из границ области оптимизации.

В связи с этим различают глобальный и локальный оптимумы.

Глобальная оптимизация – это оптимальное решение для всего пр-ва оптимизации. В принципе возможен случай наличия нескольких глобальных оптимумов, расположена в разных точках пр-ва оптимизации.

Локальный оптимум – это точка в пр-ве оптимизации, в которой целевая ф-ция имеет наибольшее или наименьшее значение по сравнению с ее значением во всех других точках близлежащих окрестностей.