2014-02-04
1771
Цель и задача управления
ТЕМА 3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТИПЫ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ
 |
Пусть в начальный момент времени
начало вектора состояния 
находится в точке 
, а конец – в точке 
(рис. 3.1). За время 
объект должен перейти в точку 
. Отметим эти точки в фазовом пространстве (пространстве состояний) - системе координат, по осям которой отложены координаты вектора состояний 
, 
, …, 
(например, для трёхмерного пространства 
, 
, 
). Рисунок 3.1 – Траектория движения объекта в фазовом пространстве
Если в каждый момент времени 
, отложить в фазовом пространстве точку, соответствующую вектору 
, то получим траекторию движения объекта.
Траекторией движения объекта называется след, оставляемый вектором состояния в фазовом пространстве с течением времени.
В силу конструктивных, прочностных, энергетических и других особенностей управляющее воздействие не может превышать какой - то величины 
, т.е.
, (3.1)
где 
; 
.
Область возможных значений управляющих воздействий 
называют областью допустимых управлений. Реально подаваемые на вход ОУ управления должны принадлежать области допустимых управлений, сокращённо
. (3.2)
Аналогично компоненты вектора состояния 
в общем случае также должны удовлетворять определённым ограничениям. Некоторая область 
в пространстве состояний, за пределы которой не должен выходить вектор состояний называется областью допустимых состояний, сокращённо
. (3.3)
В области допустимых состояний можно выделить подобласть 
, в пределах которой по каким-то причинам значения вектора состояния в конечный момент времени будет желательным (см. рис. 3.1).
Цель управления – перевести объект из начального состояния в конечное 
, принадлежащее подобласти () желаемых значений вектора состояния, находящейся в области допустимых состояний . При этом конечное время 
может быть неизвестно. Для достижения цели управления на вход ОУ необходимо подать соответствующее управление.
Задача управления - в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором будет реализована цель управления, т.е. найти такое допустимое управление на временном отрезке 
, при котором уравнения состояния ОУ в конечный момент времени при заданном начальном состоянии имеют решения, находящиеся в области желаемых значений .
3.2 Критерии качества
Как правило, задача управления имеет большое число решений. Однако к системе управления часто предъявляется ряд требований, не описанных в задаче управления (например, быстрее, с наименьшими затратами и т.д.). Для оценки степени соответствия системы, предъявляемым требованиям, вводятся числовые показатели, характеризующие качество управления.
Качество управления можно характеризовать двумя способами:
1) в форме совокупности показателей качества (время, затраты, площадь, …);
2) в форме некоторого обобщённого показателя (время достижения цели, значение максимальной ошибки, безотказность работы, производительность, себестоимость и т.д. – для каждого случая своего).
Наиболее часто обобщенный показатель качества управления 
можно представить в виде функционала:
(3.4)
где 
– функция, определяющая конкретный физический смысл показателя качества . Тогда задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом: при переводе объекта управления из начального состояния в конечное , оставаясь в области допустимых состояний 
на всём временном отрезке 
, найти в области допустимых управлений такое управление 
, при котором показатель достигает экстремального (оптимального) значения:
. (3.5)
Условие (3.5) называется критерием оптимальности.
Управление, реализуемое критерий оптимальности называется оптимальным; систему управлений, которая с позиции критерия оптимальности является наилучшей, называют оптимальной.
Пусть на управление не наложены ограничения (3.1). Тогда объект называется управляемым, если можно подобрать такое управление , с помощью которого объект будет переведён из начального состояния , в конечное за конечное время 
. Другими словами, вектор управления должен влиять на все компоненты вектора состояния .
Если на вектор управления налаживаются ограничения, например (3.1), то полностью управляемый объект может стать неуправляемым. Таким образом, понятие управляемости отвечает на вопрос: возможно ли существование оптимального управления для данного объекта при конкретных ограничениях и начальных состояниях. Соответствующие исследования проводятся с использованием понятия достижимости.
Конечное состояние является достижимым из исходного состояния , если найдётся такое управление из области допустимых управлений , при котором объект за конечное время будет переведён из исходного состояния в конечное состояние . Совокупность достижимых состояний образует область достижимых состояний 
в момент времени из исходного состояния по отношению к области допустимых управлений .
Задача оптимального управления имеет смысл, если конечное состояние объекта принадлежит области допустимых состояний . В большинстве технических задач конечное состояние является достижимым, а объект - управляемым.
Ранее мы считали, что известно начальное состояние . Но на практике не всегда вектор состояния можно измерить (обычно измеряется и 
). Поэтому, наблюдая за выходными и входными параметрами объекта управления в течение времени , можно определить начальное состояние объекта .
Наблюдаемостью называется возможность восстанавливать начальное состояние объекта по наблюдениям за выходом и входом в течение конечного отрезка времени . Состояние называется наблюдаемым, если при заданном управлении существует такой конечный промежуток времени , на котором, зная вход и выход объекта управления на этом промежутке, можно определить начальное состояние .
