Управляемость, достижимость, наблюдаемость

Цель и задача управления

ТЕМА 3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТИПЫ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

Пусть в начальный момент времени начало вектора состояния находится в точке , а конец – в точке (рис. 3.1). За время объект должен перейти в точку . Отметим эти точки в фазовом пространстве (пространстве состояний) - системе координат, по осям которой отложены координаты вектора состояний , , …, (например, для трёхмерного пространства , , ).

Рисунок 3.1 – Траектория движения объекта в фазовом пространстве

Если в каждый момент времени , отложить в фазовом пространстве точку, соответствующую вектору , то получим траекторию движения объекта.

Траекторией движения объекта называется след, оставляемый вектором состояния в фазовом пространстве с течением времени.

В силу конструктивных, прочностных, энергетических и других особенностей управляющее воздействие не может превышать какой - то величины , т.е.

, (3.1)

где ; .

Область возможных значений управляющих воздействий называют областью допустимых управлений. Реально подаваемые на вход ОУ управления должны принадлежать области допустимых управлений, сокращённо

. (3.2)

Аналогично компоненты вектора состояния в общем случае также должны удовлетворять определённым ограничениям. Некоторая область в пространстве состояний, за пределы которой не должен выходить вектор состояний называется областью допустимых состояний, сокращённо

. (3.3)

В области допустимых состояний можно выделить подобласть , в пределах которой по каким-то причинам значения вектора состояния в конечный момент времени будет желательным (см. рис. 3.1).

Цель управления – перевести объект из начального состояния в конечное , принадлежащее подобласти () желаемых значений вектора состояния, находящейся в области допустимых состояний . При этом конечное время может быть неизвестно. Для достижения цели управления на вход ОУ необходимо подать соответствующее управление.

Задача управления - в области допустимых управлений подобрать такое управление, при котором будет реализована цель управления, т.е. найти такое допустимое управление на временном отрезке , при котором уравнения состояния ОУ в конечный момент времени при заданном начальном состоянии имеют решения, находящиеся в области желаемых значений .

3.2 Критерии качества

Как правило, задача управления имеет большое число решений. Однако к системе управления часто предъявляется ряд требований, не описанных в задаче управления (например, быстрее, с наименьшими затратами и т.д.). Для оценки степени соответствия системы, предъявляемым требованиям, вводятся числовые показатели, характеризующие качество управления.

Качество управления можно характеризовать двумя способами:

1) в форме совокупности показателей качества (время, затраты, площадь, …);

2) в форме некоторого обобщённого показателя (время достижения цели, значение максимальной ошибки, безотказность работы, производительность, себестоимость и т.д. – для каждого случая своего).

Наиболее часто обобщенный показатель качества управления можно представить в виде функционала:

(3.4)

где – функция, определяющая конкретный физический смысл показателя качества . Тогда задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом: при переводе объекта управления из начального состояния в конечное , оставаясь в области допустимых состояний на всём временном отрезке , найти в области допустимых управлений такое управление , при котором показатель достигает экстремального (оптимального) значения:

. (3.5)

Условие (3.5) называется критерием оптимальности.

Управление, реализуемое критерий оптимальности называется оптимальным; систему управлений, которая с позиции критерия оптимальности является наилучшей, называют оптимальной.

Пусть на управление не наложены ограничения (3.1). Тогда объект называется управляемым, если можно подобрать такое управление , с помощью которого объект будет переведён из начального состояния , в конечное за конечное время . Другими словами, вектор управления должен влиять на все компоненты вектора состояния .

Если на вектор управления налаживаются ограничения, например (3.1), то полностью управляемый объект может стать неуправляемым. Таким образом, понятие управляемости отвечает на вопрос: возможно ли существование оптимального управления для данного объекта при конкретных ограничениях и начальных состояниях. Соответствующие исследования проводятся с использованием понятия достижимости.

Конечное состояние является достижимым из исходного состояния , если найдётся такое управление из области допустимых управлений , при котором объект за конечное время будет переведён из исходного состояния в конечное состояние . Совокупность достижимых состояний образует область достижимых состояний в момент времени из исходного состояния по отношению к области допустимых управлений .

Задача оптимального управления имеет смысл, если конечное состояние объекта принадлежит области допустимых состояний . В большинстве технических задач конечное состояние является достижимым, а объект - управляемым.

Ранее мы считали, что известно начальное состояние . Но на практике не всегда вектор состояния можно измерить (обычно измеряется и ). Поэтому, наблюдая за выходными и входными параметрами объекта управления в течение времени , можно определить начальное состояние объекта .

Наблюдаемостью называется возможность восстанавливать начальное состояние объекта по наблюдениям за выходом и входом в течение конечного отрезка времени . Состояние называется наблюдаемым, если при заданном управлении существует такой конечный промежуток времени , на котором, зная вход и выход объекта управления на этом промежутке, можно определить начальное состояние .