Экстремали с изломами

Как отмечалось ранее (см. п.4.3), если , то функционал принимает минимальное значение; если – функционал принимает максимальное значение; если , то экстремаль имеет излом, т.е. является кусочно-гладкой функцией.

Найти экстремаль кусочно-гладкой функции, решая уравнение Эйлера, нельзя, так как уравнение Эйлера выводилось в предположении гладкости экстремалей. Поэтому в таком случае поступают следующим образом.

Пусть функционал (4.1) и заданы граничные точки , , , . Предположим, что на отрезке в неизвестной точке наблюдается единственный излом функции (рис. 4.4).

Рисунок 4.4 – Экстремаль с изломом

Разобьем отрезок на два отрезка: и . Тогда функционал можно представить в виде суммы .

Дальнейшее решение задачи аналогично решению задач с подвижными концами (см. (4.14) - (4.18)), но при условии, что эти выражения равны для точек как слева, так и справа излома . Запишем уравнение Эйлера и условия трансверсальности для задачи с изломами экстремали:

;

; (4.21)

. (4.22)

Соотношения (4.21) и (4.22) называются условиями Вейерштрасса – Эрдмана. Они используются для нахождения постоянных интегрирования при решении уравнения Эйлера. Для нахождения точки излома используется условие непрерывности экстремали в этой точке: .