2014-02-04
2352
Ранее рассмотренная методика решения задач вариационного исчисления использовалась, если подынтегральная функция 
содержала производные только первого порядка, т.е. 
. Аналогичную методику решения задач можно применять и для обобщённого случая, когда подынтегральная функция содержит производные высших порядков.
В этом случае функционал (4.1) можно переписать в виде:
. (4.11)
Для однозначности решения воспользуемся граничными условиями:
; 
; …, 
; (4.12)
; 
; …, 
.
По приведенной выше методике (4.3)-(4.6) можно получить уравнение Эйлера для функционала с производными высших порядков:
. (4.13)
Уравнение (4.13) называется уравнением Эйлера-Пуассона.
При решении уравнения Эйлера-Пуассона (4.13) получается 
(для 
и 
) постоянных интегрирования, которые находятся из граничных условий (4.12).
Аналогично, условия Лежандра (4.9) и (4.10) в этом случае примут вид:
для достижения функционалом 
минимума:
для достижения функционалом максимума.
