Задачи на условный экстремум

Если в вариационных задачах функционал зависит от нескольких неизвестных функций и , связанных между собой некоторыми соотношениями (уравнениями связи), то такие задачи называются задачами на условный экстремум.

Рассмотрим функционал (4.1), зависящий от гладких функций :

. (4.23)

Пусть заданы граничные условия , и уравнения связей между переменными.

Уравнения связей между переменными могут быть заданы в одной из трёх форм:

1) алгебраической

; (4.24)

2) дифференциальной

; (4.25)

3) интегральной

, (4.26)

где , ,

– количество ограничений.

Тогда вариационная задача формулируется следующим образом: в классе гладких функций , проходящих через заданные граничные точки функций и , , найти такие функции , при которых функционал (4.23) достигает минимума при удовлетворении уравнений связей.

Если ограничения (уравнения связи) заданы в алгебраической форме (4.24), то задача называется геодезической, в дифференциальной форме (4.25) – общей задачей Лагранжа, в интегральной форме (4.26) – изопериметрической. Наиболее общей является общая задача Лагранжа, а остальные - могут быть получены как частный случай задачи Лагранжа.

4.8 Метод неопределённых множителей Лагранжа

При решении задач на условный экстремум обычно используют метод неопределённых множителей Лагранжа. В этом случае вместо функционала (4.23), в котором нет явных связей между переменными, вводится вспомогательный функционал

, (4.27)

где ;

– неопределённые множители Лагранжа;

– количество уравнений связи;

определяются уравнениями (4.24) – (4.26).

Далее по методике, изложенной в предыдущих пунктах (см. п.п. 4.2, 4.5), находятся функции , при которых функционал принимает экстремальное значение. При этом функционал исследуется на безусловный экстремум.