Постановка задачи о максимальном быстродействии

ТЕМА 7 Задача о максимальном быстродействии

Вопросы для самопроверки

1. Какие переменные введены Понтрягиным для решения задач оптимального управления и как формулируется задача оптимального управления с учётом их?

2. Как получается функция Гамильтона в принципе максимума Понтрягина?

3. Каким образом можно получить систему сопряжённых уравнений? Для чего они используются?

4. Как используется принцип максимума Понтрягина для решения дискретных задач? Опишите методику нахождения оптимальных управлений.

Теория оптимального управления первоначально развивалась как теория оптимального быстродействия и лишь во второй половине 50-х годов XIX века были сделаны обобщения на другие классы задач.

Сформулируем задачу о максимальном быстродействии.

Пусть объект управления описывается уравнением состояния

(7.1)

и заданы область допустимых управлений и желаемый вектор состояния системы . Предположим, что в начальный момент времени действительный вектор состояния отличается от желаемого вектора , но через время они совпадут (см. рис. 7.1).

Рисунок 7.1 – Траектории движения объекта:

1 – желаемая;

2 - реальная

Необходимо в области допустимых управлений подобрать такое управление , при котором объект за минимальное время будет переведён из начального состояния в точку встречи с желаемой траекторией , то есть должно выполняться условие:

. (7.2)

Часто в задачах о максимальном быстродействии вводят вектор . Тогда задача о максимальном быстродействии сводится к нахождению такого допустимого управления, при котором объект за минимальное время будет переведён из начального состояния в начало координат пространства .

Если , то задача о максимальном быстродействии сводится к поиску такого управления, с помощью которого объект за минимальное время переводится из заданного начального состояния в заданное конечное.