2014-02-04
1116
Принцип максимума Понтрягина может быть использован для поиска оптимального управления и дискретных объектов. Рассмотрим задачу оптимизации для автономного объекта (без явной зависимости от времени 
) с фиксированным временем, одномерным управлением 
со свободным правым концом траектории.
Пусть объект управления описывается системой нелинейных разностных уравнений
; 
; 
, (6.28)
где 
- вектор состояния;
; 
- и заданы начальное состояние объекта 
и ограничения на управления 
. Показатель качества
. (6.29)
Необходимо найти такую последовательность управлений 
, 
, …, 
, принадлежащих области допустимых управлений , при которых показатель качества 
(6.29) достигает минимального значения, а траектория движения объекта управления проходит через заданную начальную точку .
Как и в случае непрерывной задачи введём новую переменную 
, удовлетворяющую уравнению
(6.30)
при нулевом начальном условии 
.
Из (6.30) видно, что при 
;
при 
;
при 
.
Поэтому задача сводится к минимизации значения компоненты 
модифицированного вектора состояния объекта 
.
Для нахождения оптимального управления 
составляется функция Гамильтона
(6.31)
и система сопряжённых уравнений в векторной форме
(6.32)
или в скалярной форме
, 
(6.33)
при граничных условиях 
.
Управление будет оптимальным, если функция Гамильтона 
принимает максимальное значение:
, (6.34)
где вектор
находится из уравнения (6.32) при граничном условии ;
вектор 
находится из (6.28) и (6.30) при заданном начальном условии 
и 
;
функция Гамильтона определяется в соответствии с (6.31).
Соотношение (6.34) является необходимым условием минимума функционала .
Вычисление оптимальных дискретных управлений в соответствии с принципом максимума чаще решается с использованием ЭВМ и редко является аналитически решаемой задачей.
