Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона

Пусть дана нелинейная система уравнений

,

где - вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой области . Положим, что - есть точка, лежащая в вместе со своей замкнутой -окрестностью. При этом выполняются следующие условия:

1) матрица Якоби при имеет обратную функцию

2)

3)

4) постоянные удовлетворяют неравенству

Тогда процесс Ньютона при начальном приблежении сходится к решению - есть решение такое, что

Для проверки условия даёт оценку расходимости начального и первого приблежения.