2014-02-04
258
Метод итераций
Дана система нелинейных уравнений:
или
(1)
Допустим, что систему 1 можно привести к виду:
(2)
Введём обозначения:
, 
,
Можно систему уравнений 2 переписать в виде:
Приведённое матричное уравнение и есть формула метода итераций
Пусть функции 
и 
непрерывны в области 
, причём в области выполнимо неравенство:
где 
- некоторая константа.
Если последовательные приближения
, 
не выходят из области , то этот процесс сходится к единственному решению системы.
Следствие:
оценка пиближённо
На практике лучше всего рассматривать матрицу с элементами
Для сходимости должно выполнятся условие
1) 
2) 
3) 
Метод скорейшего спуска (градиентный метод)
Дана система линейных уравнений:
(1)
В матричном виде
Считаем, что 
действительны и непрерывно дифференцируемы в их общей области определения.
Рассмотрим функцию
(2)
Очевидно, что если мы найдём решение системы уравнений 1 
, то это решение является и решением системы уравнений 2 и наоборот.
Предполагаем, что система 1 имеет лишь одно изолированное решение, представляющего собой точку строго минимум функции 
. Таким образом задача сводится к нахождению минимум функции в 
-мерном пространстве.
Берём точку 
- нулевое приближение. Через точку проходит поверхность уровня и 
. Если близка , то поверхность =
будет похожа на элипсоид.
Из точки движемся по нормали к поверхности 
до тех пор, пока эта нормаль не коснётся 
другой поверхности:
И так далее.
Так как 
, то двигаясь таким образом, мы быстро приближаемся к точке с минимальным значением 
, которая соответствует некоему корню .
