Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средние величины исчисляются для характеристики уровня цен, заработной платы, основного капитала, численности населения и др. однородной совокупности социально-экономических явлений.
Требования, предъявляемые к средним величинам:
- средняя должна характеризовать качественно однородную совокупность;
- средние должны исчисляться по данным большого числа единиц, составляющих совокупность, то есть отображать массовые социально-экономические явления.
Для более глубокого научного анализа изучаемых явлений исчисляют средние величины не только всей совокупности, но и по составляющим эту совокупность. Задача статистики состоит в том, чтобы дать смысловую социально-экономическую оценку результатам расчетов средних показателей.
Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у единиц совокупности.
В экономических исследованиях применяются две категории средних: степенные и структурные.
Таблица 4.1 Виды средних величин
Наименование средней | Формула средней | |
Простая | Взвешенная | |
Арифметическая | Хср = ∑х / n | Xср = ∑xf / ∑f |
Гармоническая | Хср = n / ∑ 1/x | Хср = ∑M / ∑(1/x)M |
Геометрическая | n Хср = √ x1 ∙ x2 ∙ xn-1 ∙ xn | ∑f f1 f2 fn Хср = √ x1 ∙ x2 ∙ xn |
Квадратичная | Хср = √ ∑x² / n | Хср = √ ∑x² / ∑f |
Х – индивидуальное значение признака,
n – число значений признаков.
К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая. Средняя обозначается через Х. Частота – повторяемость отдельных значений признака – обозначается буквой f.
Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задач исследования и наличия исходной информации.
Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда варианты или варьирующие признаки встречаются только по одному разу и имеют одинаковый вес в совокупности. Средняя арифметическая взвешенная используется, когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются неодинаковое количество раз.
Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака (то есть М = х ∙ f).
Средняя гармоническая простая встречается в тех случаях, когда веса одинаковы, то есть равны между собой.
Средняя геометрическая простая используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики.
Средняя квадратическая используется для расчетов среднего квадратического отклонения (σ) при изучении темы «Показатели вариации».
Для вычисления средней в дискретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, то есть по средней арифметической взвешенной: Хср = ∑xf / ∑f.
Для вычисления средней в интервальных рядах нужно перейти к дискретному ряду, то есть по каждой группе вычислить значение интервала, заменить интервал его средним значением и вычислить по формуле:
Xср = ∑{(∑x/2) ∙ f} / ∑f.
Для того чтобы проверить правильность выбора формул, надо учитывать:
- среднее значение признака не должно выходить за пределы минимального и максимального значений признака совокупности;
- среднее значение ближе к тому значению признака, которому соответствует большая частота.
Степенные средние дают обобщающую характеристику совокупности и являются абстрактными величинами, полученными расчетным путем, в то же время эти средние не отражают всех особенностей совокупности, они могут быть различными для одинаковых совокупностей или иметь одинаковое значение для совокупности с различным строением.
Структурные средние используются для более полной характеристики совокупности. К ним относятся
Мода – это варианта с наибольшей частотой (М0);
Медиана – это варианта, делящая совокупность на две равные части (Мс).
Квартили – это варианта, делящая совокупность на 4-ре равные части.
Децили – это варианта, делящая совокупность на десять равных частей.
Выбор вида средней величины в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся данных.
Для дискретного ранжированного ряда значения признака расположены в порядке возрастания или убывания, место медианы в ряду определяют по формуле:
Nme = (n + 1) / 2,
где n – число членов ряда.
Если же ряд распределения состоит из четного числа членов, то за медиану принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.
В интервальном ряду мода определяется по формуле:
M0 = xмо + i ∙ {(fmo – fmo-1) / [(fmo – fmo-1) + (fmo – fmo+1)]},
где xмо – нижняя граница модального интервала;
fmo – частота модального интервала;
fmo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fmo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
В интервальном ряду распределения для нахождения медианы сначала указывают интервал, в котором она находится.
Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.
Численное значение медианы начисляется по формуле:
Me = Xme + i ∙ {(∑f/2 – Sme-1) / fme},
где f – сумма частот ряда;
Xme – нижняя граница медианного интервала;
i – величина интервала;
Sme-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
Fme – частота медианного интервала.
Мода, медиана, средняя для дискретного ряда распределения и для интервального ряда называются показателями центра распределения, т.к. они используются для анализа вариационного ряда.