Нахождение плоскости по точкам

Нахождение параметров плоскости

Масштабирование

Для того, чтобы выполнить масштабирование, необходимо:

• задать или определить координаты размера изображения: x_min, y_min, x_max, y_max и координаты области вывода: X_min, Y_min, X_max, Y_max;
• вычислить коэффициенты масштабирования:
  f_x = (X_max - X_min) / (x_max - x_min),
  f_y = (Y_max - Y_min) / (y_max - y_min),
  f_x = f_y = min(f_x, f_y)
• произвести вычисление текущих координат экрана:
  x_э = X_min + f_x * (x_р - x_min),
  y_э = Y_min + f_y * (y_р - y_min),
  где x_э, y_э — экранные координаты, x_р, y_р — реальные координаты.

Пусть уравнение ax + by + cz + d = 0 описывает плоскость. Переменная d является свободной, ей можно придать любое значение, положим ее равной единице: d = 1. Известно, что плоскость задается, причем однозначным образом, тремя точками (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃) пространства (эти точки, вообще говоря, не должны одновременно находиться на одной прямой):

	x1a + y1b + z1c = -1
x2a + y2b + z2c = -1
x3a + y3b + z3c = -1

Решив эту систему уравнений относительно неизвестных a, b и c, мы найдем уравнение плоскости. Покажем это на примере. Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки: A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(1, -1, 1). Рис. 7.1 иллюстрирует нашу задачу:

Представим систему уравнений в виде произведения матриц: первая из них содержит координаты точек A, B и C, вторая — неизвестные a, b и c, третья — правые части уравнений:

Отсюда находим a = -1, b = -1, c = -1 и подставляем их в уравнение плоскости: -1x - 1y - 1z + d = 0 или x + y + z = d. Подставим в это уравнение плоскости любую точку, например, (1, 0, 0) и найдем d: d = 1. Окончательно уравнение данной плоскости выглядит так: x + y + z - 1 = 0.