Физические свойства жидкостей и газов. Законы сохранения

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

Цимбалюк А.Ф.

 

 

ГИДРАВЛИКА И НЕФТЕГАЗОВАЯ

ГИДРОМЕХАНИКА

(задачи с решениями)

Учебно-методическое пособие

 

Издательство

Томского политехнического университета

 

 

Оглавление

Предисловие 4

1.Физические свойства жидкостей и газов. Законы сохранения. 5

Задача 1.1. 7

Задача 1.2. 7

Задача 1.3. 7

Задача 1.4. 8

Задача 1.5. 8

Задача 1.6. 9

Задача 1.7. 9

Задача 1.8. 9

Задача 1.9. 10

Задача 1.10. 10

Задача 1.11. 10

Задача 1.12. 11

Задача 1.13. 11

Задача 1.14. 11

Задача 1.15. 12

2. Гидростатика. Гидростатические расчёты. Определение гидростатического давления по основному уравнению гидростатики. Задачи с использованием закона Паскаля и Архимеда. Определение сил давления жидкости на плоские поверхности твёрдого тела. 12

Задача 2.1. 14

Задача 2.2. 14

Задача 2.3. 15

Задача 2.4. 15

Задача 2.5. 16

Задача 2.6. 17

Задача 2.7. 17

Задача 2.8 18

Задача 2.9. 19

Задача 2.10. 19

Задача 2.11. 19

Задача 2.12. 20

Задача 2.13. 21

3. Решение инженерных задач с использованием условий равновесия жидкости и твёрдого тела в жидкости. 22

Задача 3.1. 22

Задача 3.2. 22

Задача 3.3. 23

Задача 3.4. 24

Задача 3.5. 24

Задача 3.6. 25

Задача 3.7. 26

Задача 3.8. 26

4. Гидродинамические расчёты. Определение потерь напора на преодоление гидравлических сопротивлений, расхода, давления, диаметра трубопровода. 26

Задача 4.1. 27

Задача 4.2. 28

4. Движение в пористых средах. 29

Приложения. 30

Таблица 1. Греческий алфавит. 30

Таблица 2. Единицы измерения. 30

Таблица 3. Геометрические формулы. 31

Таблица 4. Плотность воды. 32

Таблица 5. Коэффициент объемного расширения нефтепродуктов. 33

Таблица 6. Значения для некоторых жидкостей и газов 33

Таблица 7. Значение коэффициента поверхностного натяжения жидкостей при . 33

Таблица 8. Положение центров масс плоских фигур и моментов инерции относительно оси, проходящей через центр масс. 33

Таблица 9. Значение эквивалентной шероховатости для труб (по А.Д. Альтшулю). 34

Таблица. 10. Определение коэффициента местного сопротивления. 35

Список используемых источников. 36

 

 

Предисловие

Основное назначение учебного пособия – закрепить знания, полученные на лекциях, и выработать навыки решения простейших прикладных задач. Материалы пособия использовались на практических занятиях для студентов- бакалавров направления (специальности) ООП 21.03.01 «Нефтегазовое дело», ИПР ТПУ.

Появление данного издания вызвано настоятельной необходимостью воссоздания базы для проведения практических занятий по гидравлике, учитывающей специфику подготовки для нефтегазовой отрасли. Пособие состоит из глав, в начале большинства помешено краткое описание рассматриваемой темы. В нем рисунки не нумеруются. Номера рисунков к задаче совпадают с нумерацией задач. Такой подход позволяет легко вводить новые задачи.

В конце пособия находятся приложения, содержащие справочный материал необходимый при решении задач. Не все задачи содержат решение, часть имеет только ответы и используется, в качестве домашних заданий и дополнительных вопросов на экзамене.

При составлении задачника, использовались ряд известных учебников и задачников [1-8], часть материалов из них были включены в данный сборник. Причиной этого было высокое качество материала, а не желание автора нарушить права других. Кроме процитированных выше источников использовались несколько громоздких и малопонятных Интернет ресурсов, по которым автор учился, как не надо составлять задачники. Цитирование их было бы верхом неблагодарности.

Физические свойства жидкостей и газов. Законы сохранения.

 

В гидравлике рассматриваются три типа сплошных сред: твердая деформируемая, жидкая, газ.

Основные характеристики сплошных сред:

-плотность (масса в единице объема);

- удельный вес (вес единицы объема вещества);

- напряжение (вектор силы отнесенный к единице поверхности); последний может быть разложен на нормальную и касательную составляющие: , в стационарном (равновесном) случае для газов и жидкостей (закон Паскаля – давление во всех направлениях одинаковое), - гидростатическое давление, для твердых тел давление – нормальная проекция силы отнесенная к единице внешней поверхности. При сжатии (растяжении) сплошная среда упруго сжимается (растягивается). Для твердых тел это справедливо до - предела пропорциональности, после чего следуют фазы: пластической (необратимой) деформации, текучести и разрушения. Для жидкостей в случае растяжения, после достижения - предела прочности происходит образование газовых пузырьков. Газы всегда упругая среда. Отметим также, что изменение давления и температуры может привести к изменению фазового состояния среды, в этом случае имеет место фазовый переход: плавление-замерзание, испарение-конденсация, сублимация-десублимация.

Сжимаемость жидкостей и твердых тел, учитывается через коэффициентом объёмного расширения (при постоянной температуре):

,

где - объемный модуль упругости.

Аналогичным образом, учитывается температурное расширение твердых тел и жидкостей:

,

тогда плотность жидкости может быть рассчитана по формуле:

,

где - коэффициент объемного теплового расширения, - плотность при стандартных условиях (), - температура в градусах Цельсия. Для большинства жидкостей с повышением температуры плотность падает, исключением является вода плотность которой имеет максимум при 4 ^оС (см.Приложение 3). Для нефтепродуктов характерна зависимость от плотности (см.Приложение 4).

Упругость и сжимаемость газа хорошо описывается посредством уравнения состояния, наиболее распространенным является уравнение Клайперона - Менделеева:

.

где – газовая постоянная, такой газ называется совершенным или (термически совершенным.

, =8,3144 Дж/(моль×К) – универсальная газовая постоянная.

- молярная масса газа, =кг/моль.

Для адиабатического процесса (когда отсутствует тепло и массообмен между выделенным объёмом газа и окружающей средой) характерна следующая зависимость:

,

где - адиабатическая постоянная газа (показатель адиабаты); с_v - теплоёмкость газа при постоянном объёме; с_р - то же при постоянном давлении. Такой газ называется термически и калорически совершенным или политропным.

Текучестью называетсяспособность среды деформироваться под действием сколь угодно малых внешних воздействий, до тех пор пока внутренние касательные напряжения не станут равными нулю. Текучими (вязкими) средами являются жидкость и газ. Для большинства жидкостей справедлив закон Ньютона для внутреннего трения:

где - касательная составляющая напряжения на площадке, параллельной плоскости , - динамический коэффициент вязкости (динамическая вяз­кость) газа. Для жидкости () целесообразно использовать величину

,

называемую кинематическим коэф­фициентом вязкости (кинематической вязкостью). На практике часто для используется величина Ст = см²/с, которая называется стокс (в честь английского гидромеханика Дж. Стокса, кото­рый сформулировал дифференциальные уравнения движения вязкой жид­кости): 1Ст = 10^-4 м²/с.

На криволинейной границе раздела фаз (жидкость – газ) действует поверхностное натяжение. В случае наличия твердой границы, жидкость может либо притягиваться к поверхности (смачивающаяся поверхность), либо отталкиваться от нее (несмачиваемая поверхность). Последнее зависит от материала поверхности и ее состояния. Перепад давления, создаваемый поверхностными силами на криволинейной поверхности, может быть вычислен по формуле Лапласа:

,

где - главные кривизны поверхности, - коэффициент поверхностного натяжения (значения для ряда жидкостей приведены в Таблице 6). Для сферических образований (капля, пузырь, шар) формула принимает вид:

,

Здесь - радиус сферического образования.

Для воды справедлива зависимость:

,

Здесь - температура в градусах Цельсия.

Влияние поверхностных сил особенно сильно проявляется в тонких трубках (капиллярах). Высота подъема (смачиваемая поверхность) или падения (несмачиваемая поверхность) может быть вычисленная по формуле:

.

Здесь - радиус капилляра.

Задача 1.1.

При испытании водовода необходимо поднять в нем давление на величину . Длина водовода , диаметр трубы . Сколько воды необходимо добавить в водовод? Деформацией стенок пренебречь. Коэффициент объемного сжатия принять равным .

Решение.

Найдем объем воды в водоводе до испытаний.

.

Согласно определению

Ответ: .

Задача 1.2.

Объем отопительной системы (трубы, котел, радиаторы) небольшого дома . На сколько изменится объем воды при ее нагреве с 20^оС до 90^оС?

Решение.

Плотность воды при 20^оС , при 90^оС . Масса воды постоянна . Объем воды при 90^оС . Изменение объема воды .

Ответ: .

Задача 1.3.

Плотность нефти при 20^оС составляет . Какова будет плотность нефти при 5 ^оС?

Решение.

Из таблицы , тогда:

.

Ответ: .

Задача 1.4.

Уровень нефти () в вертикальном цилиндрическом резервуаре утром составлял . Как изменился уровень , если температура поднялась днем на ?

Решение.

Воспользуемся зависимостью плотности от температуры и запишем ее для начального и конечного значений времени:

Изменение плотности:

.

Масса нефти постоянна:

Полагаем, что плотность нефти днем близка к стандартной , тогда

Ответ: .

Задача 1.5.

Как изменится плотность бензина А76 (), если температура повысится с 20^оС до 70^оС?

Решение.

Используем формулу для зависимости плотности нефтепродуктов от температуры:

, но для такой плотности коэффициент температурного расширения , поэтому в расчетах необходимо брать среднее значение .

Окончательно:

Ответ: , уменьшится на 5%.

Задача 1.6.

 

Решение.

 

Ответ:.

 

Задача 1.7.

Определить перепад давлений, создаваемый поверхностным натяжением, для капель (пузырьки) диаметром ?

Решение. Согласно формуле и таблице:

,

Ответ: .

Задача 1.8.

Как изменится плотность и удельный вес воды на Северном полюсе и экваторе? Если

Решение.

Примем средние температуры на полюсе и экваторе Тогда согласно таблице Вычислим также удельные веса

 

Ответ: , .

Задача 1.9.

Пузырек газа диаметром всплывает со дна водоема, глубиной , Каков будет его диаметр у поверхности водоема для случаев ? Тепло-массообменом газа с окружающей средой пренебречь.

Решение.

Масса газа в пузырьке постоянна (массообмен = 0):

Температура газа постоянна, воспользуемся уравнением состояния:

Окончательно: ,

Ответ:

Задача 1.10.

Вязкость нефти, определенная по вискозиметру Энглера, составляет . Определить коэффициент динамической вязкости нефти, если ее плотность .

Решение.

Воспользуемся формулой Убеллоде для определения коэффициента кинематической вязкости:

,

Определим коэффициент динамической вязкости:

.

Ответ:

Задача 1.11.

Определить коэффициент динамической и кинематической вязкости воды, если шарик из эбонита с , падает в воде с постоянной скоростью . Плотность воды и ускорение свободного падения принять .

Решение.

При движении шарика в жидкости с постоянной скоростью на него действуют: сила сопротивления, вес шарика, сила Архимеда. Сила сопротивления определяется по формуле Стокса: , Вес шарика определяется по формуле: , сила Архимеда: . Так как движение равномерное, то: или

окончательно:

.Ответ:

Задача 1.12.

Определить высоты подъема воды в капилляре диаметром , при температуре . Считать, что .

 

Решение.

Будем полагать, что мениск представляет собой полусферу. Поднятие столбика жидкости вызвано капиллярным эффектом, который создается перепадом давления: . Для воды справедлива формула , тогда:

 

Ответ: .

Задача 1.13.

Как изменится высота воды в стеклянном (смачиваемая поверхность) капилляре, диаметром , при повышении температуры с до ?

Ответ: .

Задача 1.14.

Смесь жидкостей состоит 0,3 массовых долей керосина () и 0,7 мазута (). Какова плотность самой смеси?

Ответ: .

Задача 1.15.

Рис.1.1

Трубопровод диаметром заполнен водой с давлением . Определить силу , действующую на опору в горизонтальной плоскости.

 

Решение.

Сила обусловлена разностью давлений, действующих на поверхность колена и может быть вычислена по формуле:

, данный интеграл можно вычислить используя закон сохранения импульса для объема колена, ограниченного замкнутой поверхностью , тогда: ,

, последнее уравнение есть условие замкнутости поверхности.

, где , Окончательно:

 

Ответ: .

 

 

Гидростатика. Гидростатические расчёты. Определение гидростатического давления по основному уравнению гидростатики. Задачи с использованием закона Паскаля и Архимеда. Определение сил давления жидкости на плоские поверхности твёрдого тела.

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости, в поле массовой силы имеет вид:

,

где - ось направленная обратно направлению . Зачастую в качестве массовой силы рассматривается гравитационная сила .

Для жидкости имеет место закон Паскаля: внешнее давление на свободной поверхности жидкости, находящейся в равновесии, передается во все точки жидкости без изменения по всем направлениям.

Под поверхностью уровня понимают поверхность равного значения давления. В поле гравитационных сил эти поверхности – плоскости, перпендикулярные оси z. Плоскость, на которой давление равно атмосферному (), называется свободной. Плоскость нормальную оси z и проходящую через самую глубокую точку водоема (давление на которой максимально) называютплоскостью сравнения.

Основное уравнение гидростатики имеет вид:

, ,

где - гидростатический (потенциальный) напор, - глубина, .

Различают: - весовое давление, - «абсолютное» (полное) давление.

Если ,

здесь - пьезометрическая высота, - избыточное давление, а - пьезометрический напор. В данном случае положительная величина, которая имеет специальное название – манометрическое давление.

.

Если , то

Если , то используются понятия - вакуума (вакуумического давления) и вакуумметрической высоты .

Cила суммарного давления, действующая на плоскую площадку, под слоем жидкости:

,

где - глубина центра тяжести, - площадь площадки.

Под центром давления понимают точку приложения результирующей силы давления жидкости. В системе координат, направленной вниз по поверхности, начало которой находится на свободной поверхности (см рисунок), координата центра давления может быть вычислена по формуле:

,

где - момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящий через ее центр масс. Значения для часто встречающихся на практике плоских фигур приведены в Приложении 7.

В случае сжимаемой среды (совершенного газа) в изотермическом случае:

.

Используя (2.1.3) после подстановки и интегрирования получим барометрическую формулу:

,

Здесь - давление и плотность газа в точках горизонтальной плоскости с координатой .

 

Задача 2.1.

Рис.2.1.

Определить какие давления необходимо создать в кессоне, для работы на глубинах:

Решение. Давление в кессоне должно быть больше абсолютного давления на дне водоема:

 

Ответ: .

Задача 2.2.

Рис. 2.2.

Определить абсолютное и избыточное давление в точке А, и высоты столбов в ртутном и водяном пьезометрах, если , , -плотность ртути.

 

Решение.

Согласно основному уравнению гидравлики абсолютное давление в точке А:

,

Избыточное давление в точке А:

.

Пьезометрические высоты :

.

Ответ: , , .

Задача 2.3.

Рис. 2.3.

Определить давление в резервуаре и высоту в пьезометре, если . Плотность ртути .

 

Решение.

Запишем основное уравнение гидростатики для левой системы (ртутный манометр):

Запишем аналогичное соотношение для правой системы (водяной пьезометр):

Откуда следует:

.

 

Ответ: , .

Задача 2.4.

Рис. 2.4.

Определить абсолютное и манометрическое давления в нефтепроводе, если плотность нефти , .

 

Решение.

Обратим внимание, что давление в точках В и С одинаково, тогда согласно основному уравнению гидравлики:

.

Следовательно,

Абсолютное и манометрическое давления в нефтепроводе:

Подставляем численные значения и вычисляем:

Ответ: .

Задача 2.5.

Рис.2.5.

Определить все виды гидростатического давления в баке с нефтью, если , , .

 

 

Решение.

1.Абсолютное гидростатическое давление на дне:

.

2.Избыточное давление у дна:

.

3.Избыточное давление создаваемое столбом жидкости:

.

4.Избыточное давление на поверхности:

 

Ответ: , .

Задача 2.6.

Рис.2.6.

Цилиндрический сосуд с жидкостью, радиуса , вращается вокруг своей оси с угловой постоянной скоростью . Какую форму примет свободная поверхность жидкости в сосуде?

 

Решение.

Введем для удобства решения цилиндрическую систему координат .И рассмотрим равновесие жидкой частицы на свободной поверхности. На нее действует сила тяжести и центростремительная. Сделаем систему координат, связанную с частицей инерциальной для этого введем фиктивную центробежную силу. С учетом осесимметричности движения относительно оси oz уравнение равновесия можно записать в цилиндрических координатах:

 

полученное уравнение, описывает форму свободной поверхности. После интегрирования имеем: . Константу найдем из условия , тогда: или . Уравнение представляет собой параболу в плоскости roz.

Ответ: Парабола .

Задача 2.7.

Выведите условие при котором жидкость в вращающемся стакане откроет его дно (см. предыдущую задачу)?

Решение.

Данный вариант отвечает случаю , . Пусть объем жидкости в стакане без вращения: , высота подъема жидкости, в момент открытия дна . Объем жидкости в этот же момент[1]:

Приравнивая выражения для объемов жидкости:

следовательно

Ответ: .

Задача 2.8

Рис.2.8.

Вычислить силу , приложенную для уравновешивания системы поршней , если ; ; ; ; .

 

Решение.

Среднее давление на поршни :

,

сила давления на поршни:

 

.

Ответ: .

Задача 2.9.

Рис.2.9

Поршень 1 гидравлического пресса имеет диаметр . Сила , действующая на поршень 1, создает усилие на поршне 2 . Определить диаметр поршня 2. Вследствие деформации стенок и протечек коэффициент полезного действия пресса .

 

Решение.

 

Гидростатическое давление под поршнем насоса:

 

.

Так как по закону Паскаля внешнее давление p передается в жидкости по всем направлениям одинаково, то . Тогда .

Ответ: .

Задача 2.10.

Рис.2.10.

Определить плотность плавающего в воде деревянного бруса, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, высота которого , если брус выступает над водой на расстоянии .

 

Решение.

Составляем условие равновесия бруса:

- вес бруса равен силе Архимеда.

Ответ: .

Задача 2.11.

Песок на строительство доставляется на деревянной шаланде, которая имеет вертикальные борта и площадь в плане. Собственный вес шаланды . Определить, сможет ли пройти шаланда: а) в порожнем состоянии; б) с грузом песка плотностью в количестве , если наименьшая глубина по фарватеру равна .

Решение.

Вес баржи уравновешивается силой Архимеда.

Для ненагруженной баржи:

Для нагруженной баржи:

Ответ: Пройдет в обоих случаях.

 

Задача 2.12.

Рис.2.11.

Канал, глубиной и шириной , перекрыт шлюзом, образующим угол с дном канала. Определить величину, точку приложения и направление гидростатической силы , действующей на шлюз, для случаев . Плотность воды и ускорение свободного падения принять равными .

 

 

Решение.

Введем систему координат 0z, направленную вниз по поверхности шлюза. Тогда площадь поверхности шлюза, на которую действует гидростатическое давление:

, а модуль гидростатической силы . Данная сила имеет две проекции вертикальную и горизонтальную и точку приложения находящуюся на глубине . Для нахождения воспользуемся формулой: , тогда , а момент инерции относительно оси, проходящий через центр масс параллельно основанию шлюза . Подставляя исходные параметры, получим:

 

Ответ:

Задача 2.13.

Рис.2.12

Определить давление на забое закрытой газовой скважины, Если глубина скважины , манометрическое давление на устье , плотность газа при атмосферном давлении . Найти давление в забое.

,

 

Решение.

 

Ответ:.