Свойства средней арифметической

Средние арифметические

Сущность средних показателей и исходное соотношение средней.

Средняя величина – обобщенная качественная характеристика признака статистической совокупности конкретных условий места и времени. Показатель в форме средней величины отражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Сущность средней заключается в том, что в ней взаимозаключаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайны факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов (отражает основные факторы, черты, признаки). Средняя величина отражает типичный уровень признака и абстрагируется от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам. Исходное соотношение средней (ИСС) – логическая форма для расчета величины. ИСС = объем осредняемого признака: объем совокупности. Объем осредняемого признака – суммарное значение осредняемого признака. Пример: Расчет возраста: ИСС = сумма возрастов: количество человек. В зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким образом будет реализовано исходное соотношение. Виды средней величины могут быть простыми и взвешенными. 1) Средняя арифметическая; 2) Средняя гармоническая; 3) Средняя геометрическая; 4) Срденяя квадратическая/кубическая; 5) Структурные средние величины (мода, медиана)

Данные несгруппированы – средняя арифметическая простая. х средняя = (х1+х2+…+xn)/n. Данные сгруппированы – средняя арифметическая взвешенная. х средняя = ∑xifi/∑fi, fi – частота (сколько раз значение признака встречается в совокупности)

Используются для упрощения расчетов: 1) произведение средней на сумму частот = сумма произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты. Х средняя * ∑fi = ∑xifi. 2) сумма отклонений индивидуального значения признака от средней арифм. = 0. ∑(xi – x средняя)fi = 0. 3) если все осредняемые величины уменьшить/увеличить на постоянное число А, то средняя арифм. соответственно уменьшится/увеличится на А. (∑(xi ± A)fi)/∑fi = x средняя ± А. 4) Если все варианты значения признака уменьшить/увеличить в k раз, то средняя соответственно уменьшится/увеличится в k раз. (∑(xi/k)fi)/∑fi = x средняя / k. 5) если все частоты (fi) уменьшить/увеличить в k раз, то средняя не изменится. (∑xi*(fi/k))/∑(fi/k) = x средняя. 6) сумма квадратов отклонений индивидуального значения признаков от средней арифм. меньше, чем сумма квадрата и отклонений от любой другой произвольной величины С. ∑(xi – x средняя)²fi < ∑(xi – C)²fi

20. Средние гармонические – величина, обратная средней арифм. из обратных значений признаков. х средняя = n/∑(1/xi) – простая, х средняя = ∑xifi/∑(xifi/xi) – взвешенная. Средние арифм. и средние гармонич. могут применяться в одних и тех же ситуациях, но по разным данным. Не известен числитель → средняя арифм.; не известен знаменатель → средняя гармонич.