Лекция 4. Функция. Основные определения

Раздел II. Введение в математический анализ.

Цель. Расширить понятие функции, известное студентам из школьного курса математики. Рассмотреть понятие области определения как множество точек числовой оси. Рассмотреть способы задания функции; понятие сложной функции. Рассмотреть линейную функцию.

Задача лекции – научиться находить область определения функции; строить прямую линию по заданному в различных формах условию; разбираться во взаимном расположении прямых на плоскости.

4.1. Числовые множества. Абсолютная величина числа, ее свойства.

4.2. Функция одной переменной. Способы задания.

4.3. Элементарные функции. Краткий обзор основных элементарных функций. Преобразования графиков.

4.4. Уравнение линии на плоскости. Линейная функция. Различные уравнения прямой линии.

4.1. Числовые множества. Абсолютная

величина числа и ее свойства.

В основе математики, как и любой науки, лежат первичные понятия, не определяемые через более простые понятия. К ним относятся: число, точка, множество.

Под множеством понимается совокупность (набор) объектов, обладающих некоторым общим свойством. Эти объекты называются элементами или точками множества (множество студентов в данной аудитории, множество звезд на небе, множество букв в алфавите и так далее).

Множества обозначаются прописными буквами: A, B, X, Y, …, а их элементы соответствующими строчными буквами. Если элемент х принадлежит множеству Х, что записывают , или Х=(х₁, х₂,…, х_n).

Если элемент у не принадлежит множеству Y, то записывается . Если в множестве не содержится ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается – Ø. Например, множество действительных корней уравнения является пустым.

Если элементами множества являются числа, то оно называется числовым или точечным, так как всякое действительное число можно изобразить точкой на числовой оси (числовой прямой). Поэтому понятия «число х» и «точка х» можно считать эквивалентными.

Среди числовых множеств различают:

1. интервал (открытый отрезок) (а; b): это есть множество чисел, удовлетворяющих неравенству , (рис. 4.1)

2. сегмент (закрытый отрезок) [ a; b ]: это множество чисел, удовлетворяющих неравенству , (рис. 4.2)

3. полуинтервалы и (рис. 4.3) среди этих множеств могут быть бесконечные, когда и полубесконечные: (-∞; a), (b; +∞), (-∞; a ] и [ b; +∞). Все указанные множества объединяются одним термином – промежутки Х.

Следует различать такие понятия: объединение множеств, пересечение и разность множеств.

Абсолютная величина числа и ее свойства.

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если оно неотрицательное, и противоположное число (-х), если оно отрицательное:

Из определения очевидно, что .

Рассмотрим некоторые свойства модуля.

1. Если , то (рис. 4.5)

а) , тогда

б) , тогда и

откуда следует неравенство

Из сказанного автоматически вытекает:

2. Если , то , то есть . Абсолютная величина разности характеризует расстояние от точки х до точки а, независимо от того, находится ли точка х левее или правее точки а (рис. 4.6)

Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.

Интервал , то есть множество точек, удовлетворяющих неравенству , где (см. п.2), называется δ -окрестностью точки а (рис. 4.7).

Можно сказать, что δ -окрестность представляет собой множество точек х, расстояние от каждой из которых до точки меньше δ.

3. Модуль суммы .

Доказательство:

а) пусть , тогда ;

б) пусть , в этом случае ;

Можно доказать, что модуль разности , модуль произведения , модуль частного , если .

4.2. Понятие функции. Основные свойства функций.

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру – число π.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении , где путь S и время t – переменные, или площадь треугольника , где S – площадь, h – высота, a – постоянное основание.

Перейдем к понятию функции.

Определение. Если каждому значению x множества Х ставится в соответствие вполне определенное значение у множества Y , то говорят, что на множестве Х задана функция .

При этом х называется независимой переменной, или аргументом, у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множество Х называется областью определения, или существования, функции, а множество Y – областью значений функции.

Под символом понимается значение функции при . Можно записать в виде . Если области определения, то символ не имеет смысла.

Примеры. Найти область определения функций:

1. , область определения Х:

2. , область определения Х:

3. , область определения – множество чисел, удовлетворяющих условию , или . На числовой оси это есть точки (числа), удовлетворяющие условию и .

Способы задания функции.

Существует несколько способов задания функции.

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция задана аналитически.

Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Например, одна функция

имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).

б) Табличный способ, если функция задана таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции , например таблица логарифмов.

в) Графический способ, если функция изображена в виде графика – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты которых – соответствующие им значения функции у f (x).

г) Словесный способ, если функция описана правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если х – рационально, , если – х иррационально.

д) Функция может быть задана программой, вычисляющей ее значения с помощью компьютера.

Основные свойства функций. К ним относятся четность и нечетность, монотонность, ограниченность, периодичность.

1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений х из области определения , и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция является четной, так как и , а функция - нечетной, так как и . В то же время, например, функция является функцией общего вида, так как и , .

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции на рис. 4.12), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции на рис. 4.13).

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке Х, если , и убывает, если (рис. 4.8).

Функции, возрастающие и убывающие, называются монотонными функциями. Так, например функция (см. рис. 4.12) при убывает и при возрастает.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число M>0, что для любого . В противном случае функция называется неограниченной. Например, функция ограничена на всей числовой оси, ибо для любого xR. (рис. 4.9).

4. Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых х из области определения функций . Например, функция имеет период , так как для любых значений х .