2014-02-05
1849
Пусть прямая L проходит через точку 
и образует с положительным направлением оси Ох угол α (
).
Возьмем на прямой 
точку 
.
Очевидно, 
. (4.1)
Обозначим 
и назовем угловым коэффициентом прямой L.
Из (4.1) получаем:
y-y 1 =k (x-x 1) (4.2)
Можно показать, что уравнение (4.2) справедливо и для случая 
.
Уравнение (4.2) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Если в уравнении (4.2) k – произвольное число, то уравнение (4.2) определяет пучок всевозможных прямых (кроме вертикальной прямой), где точка - центр пучка (рис. 4.34).
Пусть известно, что прямая, имеющая угловой коэффициент 
, отсекает на оси Оу отрезок, равный b, то есть проходит через точку B (0, b).
Используя уравнение (4.2) получаем уравнение:
y=kx+b, (4.3)
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Поведение прямой определяется параметрами k и b.
1. 
, 
, прямая проходит через начало координат.
2. 
, 
, прямая параллельна оси Ох.
3. , , 
- уравнение оси Ох. (рис. 4.36)
Пусть даны две точки и , через которые проходит прямая и 
, 
(рис. 4.37). Угловой коэффициент этой прямой 
. Подставим его в уравнение (4.2) и получим:
|
|
|
или
. (4.4)
Получено уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть прямая параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, для любой точки М, принадлежащей прямой L, абсцисса:
х=а (4.5)
Получено уравнение вертикальной прямой.
Уравнения (4.2)-(4.5) показывают, что любая прямая описывается линейным уравнением (линейной функцией).
Покажем, что всякое линейное уравнение
(4.6)
определяет прямую на плоскости, если А и В одновременно не обращаются в ноль.
1. Пусть 
, тогда 
. Обозначим 
, 
. Тогда уравнение (4.6) принимает вид 
, то есть определяет прямую.
2. 
, 
, получаем 
, или 
. Обозначим 
. Получим уравнение 
, но это уравнение определяет вертикальную прямую (4.5).
3. 
, тогда 
- уравнение оси Ох;
, тогда 
- уравнение оси Оу.
Таким образом, при любых значениях коэффициентов А и В и свободного члена С уравнение (4.6) определяет прямую линию на плоскости хОу. Оно называется общим уравнением прямой на плоскости.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пусть известны угловые коэффициенты прямых L 1 и L 2, равных k 1 и k 2 соответственно, 
, 
(рис. 4.39).
Угол между прямыми 
, при этом 
, 
.
Тогда 
, откуда получаем 
,где стрелка означает, что угол 
получается при повороте прямой L 1 к прямой L 2 против часовой стрелки.
Если прямые параллельны, то есть 
, то 
, следовательно k 1= k 2 - условие параллельности прямых. Если прямые перпендикулярны, то 
, 
(не существует). Для этого должно выполняться условие 
или k 1 k 2=−1, откуда k 1=−1/ k 2 - получено необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.
|
|
|
; 
