Измеренных величин

Средняя квадратическая погрешность функции

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …

u = f (x,y,z…). (5.5)

Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями D u, D x,D y,D z, ….

Получили выражение случайной погрешности D u в зависимости от случайной комбинации погрешностей D x,D y,D z, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:

(i = 1, 2, …, n)

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

,

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: , , , , . И окончательно

(5.6)

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x, y, z:

u = x + y + z.

В этом случае =1, =1, =1. Следовательно

=++.

2. Функция u является разностью переменных x и y:

u = x - y.

В этом случае =1, =-1. Следовательно

=+.

3. Функция u имеет вид:

u = k× x,

где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому = k ²×и

m_u = k× m_x.

4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:

u = k ₁ x + k ₂ y + k ₃ z …,

где k_i ­постоянные множители. Теперь частные производные равны = k ₁, = k ₂, = k ₃. Поэтому

.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d =124,16 м и углу наклона n=2°16´, если m_d = 0,06 м, а m _n = 1´.

Превышение вычисляют по формуле

h = d tgν.

Продифференцируем формулу по переменным d и n:

, .

Используя формулу общего вида (5.6) получим

Подставляя исходные данные, найдем

где 3438¢ -­ число минут в радиане. И окончательно m_h =0,036.м.

Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам

h = a - b.

Отчеты берут с точностью m_a = m_b = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения

= 2,8 мм

Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле

f _b= b₁+ b₂+ ¼+ b _n -180°(n -2),

где b _i – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число.

Невязка - результат погрешностей в углах b _i. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна

m_f = =,

где m ₁ = m ₂ =¼ = m_n = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5¢.

Допуском угловой невязки (f _b)_доп служит предельная погрешность (f _b)_пред=2 m_f. Получаем формулу

(f _b)_доп = 1¢.