Тема: Функции. ВЫБОРКИ
Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:
1. Соответствия между множествами.
2. Функции и их графики.
3. Выборки из n элементов по m.
4. Математическое представление выборок.
Краткое содержание лекционного материала
1. Соответствия между множествами. Подмножество декартова произведения называется соответствием между множествами и . При этом пишут . Если , то пишут и говорят, что элементу поставлен в соответствие элемент .
Соответствие называется тождественным отображением на множестве M.
Пусть дано соответствие . Соответствие называется обратным к соответствию , если .
Пусть заданы два соответствия: и . Композицией соответствий и называется соответствие , определенное следующим образом: .
Существует два вида соответствий: всюду определенные и однозначные.
Соответствие называется всюду определенным, если выполняется следующее условие: .
Соответствие называется однозначным, если выполняется следующее условие: .
Всюду определенное и однозначное соответствие называется отображением множества в множество .
|
|
2. Функции и их графики. Однозначное соответствие называется также функцией. При этом вместо записи пишут . Путаницы не возникает, так как для любого существует не более одного , такого, что . Если для некоторого не существует , такого, что , то говорят, что не определено.
Графиком функции называется множество
.
Существует два вида отображений: инъекции и сюръекции.
Отображение называется сюръекцией, или отображением множества на множество , если .
Отображение называется инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества в множество , если
.
Отображение , которое одновременно является и инъекцией, и сюръекцией, называется биекцией, или взаимно однозначным отображением множества на множество .
3. Выборки из n элементов по m. Комбинации, или выборки, – это различные конструкции элементов заданного множества, подчиненных тем или иным условиям. Простейшие из них – это выборки из n элементов по m, построения, в которых из заданного n -множества надо выбрать элементы m раз, упорядоченных или неупорядоченных, с повторениями или без повторений.
Размещения из n элементов по m – это упорядоченные выборки элементов из заданного n -множества по m.
Приведем все размещения из 3 элементов множества по 2.
С повторениями: .
Без повторений: .
Приведем все размещения из 2 элементов множества по 3.
С повторениями: .
Сочетания из n элементов по m – это неупорядоченные выборки элементов из заданного n -множества по m.
Приведем все сочетания из 3 элементов множества по 2.
С повторениями: .
|
|
Без повторений: .
Приведем все сочетания из 2 элементов множества по 3.
С повторениями: .
4. Математическое представление выборок. Размещение из n элементов по m – это просто последовательность длины m элементов из n -множества.
Сочетание без повторений из n элементов по m – это просто подмножество n -множества, содержащее ровно m элементов.
Сочетание с повторениями из n элементов по m – это график некоторого отображения a из множества первых m натуральных чисел в заданное n -множество: . Только сочетание мы записываем мы проще: a1a2…a m.