Тема: плоские и планарные графы
Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:
1. Двудольные графы
2. Плоские графы и плоские карты
3. Непланарность графов К3,3 и К5
Краткое содержание лекционного материала
1. Двудольные графы. Граф называется двудольным - графом, если множество вершин состоит из двух непустых частей , (, ), внутри которых нет ребер.
Если при этом все вершин из соединены со всеми вершинами из , то граф называется полным двудольным - графом и обозначается через .
Приведем полные двудольные графы с числом вершин не больше 4:
2. Плоские графы и плоские карты. Плоский граф – это граф, который нарисован на плоскости так, что никакие два его ребра не пересекаются.
Планарный граф – это граф, изоморфный плоскому графу.
На рисунке а) – планарный, но не плоский, граф, б) плоский граф.
Каждый плоский граф разбивает плоскость на грани: внутренние - ограниченные и внешнюю – неограниченную.
Изучение планарных графов было начато Эйлером в его исследованиях полиэдров. Следующая формула Эйлера – это классический результат в математике:
,
где – число вершин, – число ребер, – число граней полиэдра.
Формула Эйлера справедлива и в более общем случае для плоской карты – связного плоского графа, рассматриваемого вместе со всеми его гранями.
Теорема 1. Пусть плоская карта имеет вершин, ребер и граней. Тогда имеет место следующее равенство:
. (1)
Доказательство. Применим индукцию по числу ребер .
Если , то формула (1) примет следующий вид: .
Допустим, что для всех плоских карт с числом ребер не больше формула (1) верна. Плоская карта с числом ребер получается из плоской карты с числом ребер двумя способами:
1) прибавлением новой вершины , которая соединяется ребром с одной из старых вершин;
2) соединением ребром двух не смежных вершин.
В первом случае формула (1) проверяется следующим образом:
.
Во втором случае появляется новая грань и формула (1) проверяется следующим образом:
.
Следствие 1. Если в -карте каждая грань образована циклом из вершин, то
. (2)
Доказательство. Число ребер, принадлежащих каждой грани равно . Значит, число вершин, подсчитываемых при каждой грани, равно . При этом каждое ребро подсчитывается дважды, поэтому число пересчитываемых вершин равно . Получим равенство . Подставим в (1) и найдем (2).