Тема: Деревья. Остов графа. раскраска карт
Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:
1. Эквивалентные определения дерева.
2. Пример. Деревья с числом вершин не больше 5.
3. Остов графа. Поиск в ширину и в глубину.
4. Раскраска карт. Теорема Кенига. Проблема 4-х красок.
Краткое содержание лекционного материала
1. Эквивалентные определения дерева. Дерево – это связный граф, в котором нет циклов. Следующая теорема показывает только меньшую часть возможных равносильных определений дерева.
Теорема 1. Пусть – -граф. Тогда следующие условия эквивалентны:
() – дерево;
() любые две вершины в графе соединены единственной простой цепью;
() – связный граф и ;
() –граф без циклов и .
Доказательство. ()Þ(). Так как – связный граф, то любые две вершины и в графе соединены цепью, простой, поскольку еще –граф без циклов.
Если вершины и соединены двумя цепями, то получится цикл:
()Þ(). Непосредственно по условию граф связный. Доказываем равенство
(1)
индукцией по числу ребер (или вершин).
Уберем одно ребро между вершинами и . В силу единственности соединяющей цепи между вершинами и , граф распадается на два графа, удовлетворяющих условию ().
Если эти графы имеют по и вершин и по и ребер, то по индуктивному предположению для них выполняется равенство (1):
(2)
(3)
Сложив по частям (2) и (3), учитывая, что и , то получим равенство (1).
()Þ(). Допустим, что граф содержит цикл, можно считать, что простой цикл с вершинами и ребрами. Остальные вершин соединяются с этим циклом некоторым ребром, причем все такие ребра попарно различные.
Получается, что граф имеет число ребер , что противоречит (1).
()Þ(). В связной компоненте графа без циклов, мы, удаляя по одной крайней вершине и инцидентному ей ребру, на финише, в силу (1), получим одну вершину.
Если граф не связный, то он распадается на связные компоненты. Указанный выше процесс показывает, что тогда вершин будет больше ребер не на 1, а на . Значит, граф не может быть не связным.
2. Пример. Деревья с числом вершин не больше 5. Приведем все попарно неизоморфные деревья с числом вершин, не больше 5:
3. Остов графа. Поиск в ширину и в глубину. Остов графа – это подграф графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.
Приведем пример графа и одного из его остовов:
Обходы всех вершин графа совершаются как обход некоторого его остова. Методами обхода графа являются поиск в глубину и поиск в ширину.
Алгоритм поиска в глубину: для каждой не пройденной вершины необходимо найти все не пройденные смежные вершины и повторить поиск для них.
Пример графа и поиска в глубину этого графа:
1 - 2 - 3 - 4 -3- 5 -3-2-1- 6 -7-6- 8 -6- 9 - 10 - 11 -10-9- 12 -9-6-1.
Порядок поиска в ширину: началу обхода приписывается метка 0; вершинам, смежным с вершинами метки i, – метка i +1 (i =0,1,2,…). Затем нумеруем вершины: вначале вершины с меткой 0, затем с меткой 1 и т. д.
Пример графа и поиска в ширину этого графа:
4. Раскраска карт. Теорема Кенига. Проблема 4-х красок. - раскраска графа – это приписывание цветов его вершинам, такое, что две любые смежные вершины окрасятся в разные цвета.
Хроматическим числом графа называется наименьшее число цветов, для которого граф имеет -раскраску.
Граф называется - раскрашиваемым, если , и - хроматическим, если .
тогда и только тогда, когда граф вполне не связан (не содержит ребер).
Теорема Кенига. тогда и только тогда, когда граф не содержит нечетных простых циклов.
Треугольник и являются примерами 3- и 4- хроматического графа.
- раскраска плоской карты – это приписывание цветов его граням, такое, что любые два смежных ребра окрасятся в разные цвета.
Без доказательства приведем следующие факты:
1) Каждый граф 5-раскрашиваем.
2) Гипотеза «каждый граф 4-раскрашиваем» равносильна гипотезе 4 красок «каждая плоская карта 4-раскрашиваема».
В 1976 г К. Аппель и В. Хакен доказали, что четырьмя красками можно раскрасить любую карту. Их доказательство очень объемное, опирается на алгоритмы, реализуемые на компьютерах, в нем все вычисления человеку невозможно проверить.