double arrow

Принцип аналитического продолжения


Областью определения искомой функции в краевой задаче (8.20) ... (8.22) является нижнее полупространство. Однако с помощью принципа симметрии область определения можно рассматривать и на верхнее полупространство, т.е. рассматривать течение в безграничной области.

Отобразим зеркальным образом относительно свободной поверхности погруженную часть тела и обозначим эту новую поверхность через Σ1 Потенциал φ продолжим на верхнее полупространство несимметричным образом. Для простоты изложения ограничимся плоским случаем, т. е. независимыми переменными будем считать лишь координаты х и у.

Итак,

(8.24)

Покажем, что на верхней полуплоскости уравнение Лапласа бу­дет также удовлетворяться:

,

,

Таким образом,

что и требовалось доказать.

Обратимся теперь к граничному условию на поверхности зеркального отображения Σ1Нормальная скорость жидкости на Σ2 равна

Но из геометрии построения (рис. 8.4) ясно, что

;

С учетом взаимосвязи компонентов n и производных потенциала в верхней и нижней полуплоскости окончательно получаем

(8.25)

Пусть после удара скорость точек поверхности погруженной части тела равна




. (8.26)

При, ,ω = 0 имеем чисто горизонтальный удар, при ,,

ω =0—чисто вертикальный удар, при ,, ω = 0 — косой удар.

В соответствии с условием непротекания

а) на (8.27)

б) на (8.28)

Сопоставляя теперь формулы (8.27) и (2.28), с учетом (8.25) обнаруживаем, что при вертикальном ударе и вращении относи­тельно оси z (,,) граничные условия на Σ и Σ1 пол­ностью совпадают. Это означает, что движение указанного типа в безграничной жидкости будет происходить для составного тела как единого целого. При горизонтальном ударе (,,) граничные условия на Σ и Σ1 будут отличаться знаками. Это означает, что в безграничной жидкости данному типу движения отвечает горизонтальное соскальзывание в противоположных на­правлениях нижней Σ и верхней Σ1 половин составного тела. К ана­логичному заключению приводит также вращение тела после уда­ра около оси у, если рассматривается трехмерная задача.

Из сказанного ясно, что при вертикальном ударе и вращении относительно оси z можно использовать все имеющиеся решения о соответствующем движении составного тела в безграничной жид­кости. При этом присоединенные массы при ударном движении μ1k будут равны половине соответствующих значений присоединенных масс λ1k при движении в безграничной жидкости.

При горизонтальном ударе требуются дополнительные иссле­дования, поскольку характер движения обладает спецификой.

Укажем ударные присоединенные массы плавающего бесконечного эллиптического цилиндра, вертикальная полуось которого соответствует размеру погруженной части и обозначается «b», а горизонтальная полуось «а» лежит на горизонтальной поверхности. В общем случае будет



;

; (8.29)

Приведенные формулы получены для безотрывного обтекания эллипса при горизонтальном ударе. Анализ отрывного течения при­водит к заключению, что отрыв происходит при координате у*=0,926, а ударные присоединенные массы равны

; ; (8.30)

Геометрия эллиптического цилиндра включает в себя практи­чески важные частные случаи: вертикально или горизонтально плавающую пластину, наполовину погруженный круговой цилиндр.

Вместе с тем интерес представляют и другие конфигурации. При вертикальном ударе по сегменту кругового цилиндра (рис. 8.5) ударная присоединенная масса равна

(8.31)

Рис.8.5

При косом ударе по клиновидной призме (по клину) присоеди­ненные массы при безотрывном обтекании равны

(8.32)

где - выражается через табличные интегралы Эйлера 1-го рода (бета-функции),

(8.33)

где Г (z) -табличная гамма-функция (интеграл Эйлера 2-го рода).

При углах килеватости 0<55° последняя формула хорошо аппроксимируется приближенным выражением

(8.34)

Переходя к задачам удара о жидкость плавающих осесимметричных тел, прежде всего нужно отметить, что число точных анали­тических решений в этом случае значительно меньше, чем в плос­ком случае. По существу, круг решенных ударных задач ограни­чивается безотрывным обтеканием сферических сегментов, а также эллипсоидов и соответствующих им частных случаев—кругового диска, эллиптической пластины, полупогруженной сферы.



Для дальнейшего изложения напомним лишь наиболее употре­бительные результаты.

Присоединенная масса при центральном вертикальном ударе полупогруженного эллипсоида вращения равна

(8.35)

где , H - вертикальная полуось (глубина погружения); с0-горизонтальная полуось (радиус сечения на уровне невозмущенной свободной поверхности),

при 0<λ<1 (8.36)

при λ>1 (8.37)

В случае диска

(8.38)

(8.39)

Заметим, что при горизонтальном ударе полупогруженной сферы а в случае полупогруженной сферы







Сейчас читают про: