double arrow

Свойства функций сложения по модулю 2


Таблица 9 Таблица 10

       
   


A B C f248(ABC) A B C B↓C

0 0 0 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

0 1 1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0 1 0

248=128+64+32+16+8=27+26+25+24+23=111110002.

Так как значение функций на всех наборах совпадает, то f248(ABC)= и тождество доказано.

Способ доказательства равносильности функций по таблицам очень нагляден, но при большом числе n затруднителен.

2) Сравнение СДНФ и СКНФ функций.

Пример. Доказать тождество f196(ABC)= ;

19610=128+64+4=27+26+22=110001002.

В индексе функции единиц меньше, чем нулей, следовательно, СДНФ функции имеет более короткую запись, чем СКНФ:

f196(ABC)= m0+m1+m5;

= m0+m1+m5.

СДНФ функций совпадают, следовательно, тождество доказано.

Пример. Доказать тождество

F237(ABC)= ;

237(10)=128+64+32+8+4+1=27+26+25+23+22+20=11101101(2),

так как нулей мало, используем СКНФ:

f237(ABC)= М4 М1 ;

СКНФ функций совпадают, тождество доказано.

3) Преобразование одной из сравниваемых функций с помощью основных соотношений до полного совпадения с другой. Этот способ не поддается алгоритмизации, и поэтому, если не удалось привести функции к одному виду, то еще нельзя утверждать, что эти функции неравносильны.

Пример. Доказать тождество ;

Тождество доказано.

Основные соотношения для функции: :

ассоциативный закон

коммутативный закон

дистрибутивный закон относительно функции конъюнкции

а также

x при n нечетном;

0 при n четном.

n

В справедливости этих соотношений можно убедиться, если вместо подставить СДНФ этой функции:

Пример. Доказать равносильность функций

а) аналитически

б) с помощью таблиц истинности (табл.11,12) функций:

Таблица 11 Таблица 12

       
   


x y xy x y x+y

0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1 1 1

Пример. Доказать равносильность функций с помощью таблиц истинности (табл.13, 14).

Таблица 13 Таблица 14

       
   


x y x y xy

0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1

Теорема Жегалкина: любая булева функция может быть представлена в виде многочлена

f(x1 x2 … xn)= α0α1 x1α2 x2 αn xnαn+1

x1 x2αn+2 x1 x3αN x1 x2 … xn ,

где α0, α1, … , αN - некоторые константы, равные 0 или 1.

Для доказательства воспользуемся основной теоремой, утверждающей, что любую булеву функцию можно записать в виде 2n-1

f(x1 x2 … xn)= α i mi .

i=0

Для любого конкретного набора < x1 x2 … xn > из тех наборов, на которых функция принимает значение 1, только один минтерм обращается в единицу, а остальные равны нулю. Поэтому справедлива запись 2n-1

f(x1 x2 … xn)= α i mi .

i=0

От этой формы записи можно перейти к функции в виде полинома через операции и , пользуясь соотношением .

Пример. .

Таким образом, после приведения подобных членов функция f(x1 x2 … xn) будет записана в виде многочлена, при построении которого используются только операции конъюнкции и сложения по mod 2.

Теорема доказана.


Сейчас читают про: