Пересечение геометрических фигур с привлечением посредников

Сложнее решаются задачи на пересечение геометрических фигур, если ни одна из них не является проецирующей. В таких случаях трудно обойтись без привлечения третьих участников пересечения – так называемых посредников. В виде проецирующих секущих плоскостей или секущих сфер, соосных с заданными поверхностями вращения. При этом, все разнообразие подобных задач решается на основе единого алгоритма, необходимый объем которого может быть максимально полным или практически доведенным до нуля.

Рассмотрим наиболее общий случай: пересечение криволинейных поверхностей, например, и . (Рис.41):

Рис.41

1). Пусть поверхности и пересекаются по некоторой линии: .

2). Всякая линия задается точками. Зададим линию ℓ в виде объединения n-ого количества текущих точек .

3). Любая точка на чертеже должна быть задана двумя пересекающимися линиями. Пусть для текущей точки это будут две линии: одна на поверхности Δ, другая – на поверхности

4). Посредник пересекает заданные поверхности по двум линиям, а линии пересекаются в точке, принадлежащей искомой линии пересечения поверхностей. То есть: и , , .

Последняя череда рассуждений и отражает содержание алгоритма решения задач на пересечение геометрических фигур с привлечением посредников в полном объеме. От чего зависит объем алгоритма, показано на Рис.42.

Для плоскостей необходимо меньшее число посредников, чем для пересечения криволинейных поверхностей.

Если одна из фигур задается каркасом, то посредники следует проводить через его элементы. В этом случае алгоритм решения сокращается на одну позицию. Поскольку каждый элемент каркаса используется в качестве одной из двух вспомогательных линий.

При вырождении одной из поверхностей в линию алгоритм сокращается еще на одну строчку. Единственный посредник проводится через эту линию, которая играет теперь роль одной из двух вспомогательных линий. И еще. Поскольку результат пересечения – точка, то отпадает позиция объединения точек.

И, наконец, пересечение 2-х линий вообще не требует применения посредников. Роль вспомогательных линий играют сами пересекающиеся линии.

Рис.42

Каковы же требования к самим посредникам? Посредники выбираются из таких сообщений, чтобы они пересекали заданные поверхности с минимальным объемом графических построений. То есть пересекали поверхность по линиям с простыми проекциями:

Рис.43

В виде прямых и окружностей. Такими возможностями обладают проецирующие плоскости и цилиндрические поверхности тоже с вырожденными проекциями. И не только они. Такими возможностями обладают секущие сферы, с центрами на осях пересекающихся поверхностей вращения.

Справедливость такого утверждения основана на теореме о пересечении соосных поверхностей вращения(Рис.43): “Соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, поскольку любая общая для них точка при вращении образует общую для этих поверхностей окружность”. В частном положении окружность проецируется в простые линии.