Построение желаемой ЛАЧХ системы с астатизмом второго порядка

Построение ЖЛАЧХ по методу В.Н.Бесекерского

При построении ЖЛАЧХ по этому методу, кроме значения М, заданными могут быть максимальная погрешность δ, максимальные скорость g¹_max и ускорение g¹¹_max задающего воздействия, или гармоническое задающее воздействие с угловой частотой w_x и амплитудой g_max g(t) = g_maxsinw_xt

Типовая ЛАЧХ разомкнутой системы с астатизмом второго порядка изображена на рисунке 9.2. Ее передаточная функция

Построение желаемой ЛАЧХ системы осуществляют в следующей последовательности.

1. Наносят низкочастотную асимптоту, таким образом, чтобы она не заходила в запретную зону и проходила через контрольную точку В с координатами:

ωк wо

w

Рис.9.2. Типовая ЛАЧХ разомкнутых систем с астатизмом второго порядка.

если задано гармоническое воздействие или

если заданы максимальные значения скорости и ускорения задающего воздействия. В последнем случае базовая частота равна

2. Наносят среднечастотную асимптоту с наклоном – 20 дБ/дек между сопрягающими частотами.

и .

Значения τ и Т ₂ определяют по формулам

3. Высокочастотная часть ЛАЧХ может иметь произвольный вид. Она лишь ограничивается сверху прямой с ординатой L_g = 20lg(M/(M + 1)), начинающейся от среднечастотной асимптоты.

В более общем случае передаточная функция разомкнутой системы с астатизмом второго порядка имеет вид

т.е. в системе может быть несколько апериодических звеньев, колебательное звено и звенья чистого (постоянного) запаздывания с суммарным временем запаздывания θ. Тогда постоянную времени τ следует определить по ранее приведенной формуле, а для подсчета величины Т₂ нужно использовать выражение

Сумма в левой части этого выражения должна включать в себя все постоянные времени Т_i апериодических звеньев, удовлетворяющих условию Т_i > 1/40ω₀.

Для приближенного учета влияния колебательного звена и чистого запаздывания в эту сумму включают слагаемые 2ξ Т и θ. Наличие звеньев с малыми постоянными времени (меньше 1/40ω₀ учитывается уменьшением правой частивыражения на 0,1/ ω₀).

Наличие колебательного звена допустимо лишь при условии, что его постоянная времени Т << 1/ω₀.

Кроме того, должно выполняться неравенство

чтобы не появилось второй запретной зоны в районе пика ЛАЧХ.

В предельном случае, если ∑Т_i= 0, показатель колебательности не превысит заданного значения при выполнении неравенства

Расчетные соотношения для системы, содержащей колебательное звено с постоянной времени T > 1/ω₀ приведены в работе [12].

Реализовать желаемую ЛАЧХ будет легче, если ее высокочастотная часть будет иметь изломы при сопрягающих частотах, соответствующих тем постоянным времени апериодических звеньев неизменяемой части системы, которые меньше Т₂, и тем постоянным времени колебательных звеньев, которые значительно меньше 1/ω₀. Если имеются постоянные времени, не удовлетворяющие этим условиям, то высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ должна все же иметь соответствующее число изломов на произвольно выбранных частотах, удовлетворяющих условиям.

Рис.9.3. Типовые ЛАЧХ разомкнутых систем с астатизмом первого порядка.